Признаки делимости чисел сложно применять, поскольку их достаточно много. Зато знание таких признаков существенно экономит время, поскольку позволяет без деления узнать, делиться одно число на другое или нет. Разберемся в теме подробнее.
- Число делится на 2 только если является четным.
- Число делится на 4, если последние две цифры числа делятся на 4 или последние две цифры 00. Например, число 130 не делится на 4, так как 30 не делится на 4. А вот уже число 1400 можно поделить на 4.
- Число делится на 8, если последние две цифры числа нули или делятся на 8
На 3 и 9
Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Рассмотрим число: 804. Оно делится на 3, поскольку сумма цифр 8+0+4=12 – делится на 3.
Число делится на 9, если сумма цифр числа делится на 9. Признак похож на признак делимости на число 3.
Интересно: Если число делится на 9, то оно делится и на 3. При этом, число, которое делится на 3 не всегда делится на 9.
На 5
Число делится на 5, если последняя цифра числа равняется 5 или нулю. Это наиболее известный признак делимости, наряду с делимостью на 2.
На 6
Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться на 2 и 3, так как 2*3=6. Поэтому признак делимости на 6 это объединение признаков деления на 2 и на 3.
То есть: число делится на 6, если оно четное и сумма всех его цифр делится на 3
На 7
Самые сложные в восприятии признаки делимости на 7 и на 11. Число делится на 7, если разность сумм четных цифр числа и нечетных цифр чисел делится на 7.
Приведем пример: число 469 делится на 7. Почему? Сумма цифр на нечетных позициях 4+9=13. Сумма чисел на четных позициях 6. Разность получившихся сумм: 13-6=7, а это число делится на 7. Поэтому все число 469 делится на 7
На 10
Число делится на 10 только если последней цифрой числа является 0
По тому же принципу определяют делимость числа на 100, 1000 и так далее. Если у числа два нуля на конце, то оно делится на 100, если три нуля на конце, число делится на 1000 и так далее.
На 11
Число делится на 11 только, если разность сумм четных и нечетных цифр числа делится на 11 или равняется нулю Приведем пример:
Число 2035 делится на 11. Сумма цифр, стоящих на четных позициях: 2+3=5. Сумма нечетных цифр: 0+5=5. Разность полученных выражений:5-5=0, значит число делится на 11.
Нельзя путать понятия четной позиции и четного числа. Цифра это знак, который используется для записи чисел. Число это набор цифр, каждая из которых стоит на своей позиции. В числе 127 всего три цифры. Цифра 1 стоит на первой позиции, цифра 2 на второй и так далее. На четной позиции находится цифра 2. На нечетных позициях цифры 1 и 7.
Чтобы быстрее запомнить все группы можно свести в таблицу признаков делимости чисел.
|
Признаки |
Запомни |
|
Признак делимости на 2 |
Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2 или является нулём. |
|
Признак делимости на 4 |
Число делится на 4, если две его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4. |
|
Признак делимости на 8 |
Число делится на 8, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. |
|
Признак делимости на 3 |
Число делится на 3, если сумма всех его цифр делится на 3. |
|
Признак делимости на 6 |
Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. |
|
Признак делимости на 9 |
Число делится на 9, если сумма всех его цифр делится на 9. |
|
Признак делимости на 5 |
Число делится на 5, если его последняя цифра 5 или 0. |
|
Признак делимости на 25 |
Число делится на 25, если его две последние цифры нули или образуют число, которое делится на 25. |
|
Признак делимости на 10,100 и 1000. |
10 делятся нацело только те числа, последняя цифра которых нуль. На 100 делятся нацело только те числа, две последние цифры которых нули. На 1000 делятся нацело только те числа, три последние цифры нули. |
|
Признак делимости на 11 |
Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. |
Что мы узнали?
Мы поговорили о признаках делимости. Расписали все существующие признаки по группам. В особо сложных ситуациях привели примеры.
