Подобие – это следующее понятие после равенства: как в математике после сложения идет умножение, так в геометрии после равенства треугольников изучают подобие. В реальной жизни подобие помогает, за счет вычислений по тени, определять реальные размеры зданий или высоких сооружений. В задачах на эту тему, благодаря подобию, можно найти значение сторон, воспользовавшись знакомым отношением.
Для обычного треугольника существует три признака подобия. Именно через них доказываются признаки подобия прямоугольных треугольников.
Первый признак подобия: по двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Второй признак: по трем сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Третий признак: по двум сторонам и углу. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
Эти определения необходимо знать, чтобы без проблем разобраться с подобием прямоугольных треугольников.
Признаки подобия прямоугольных треугольников
- Первый признак по острому углу: если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.
Доказать этот признак очень просто. Достаточно вспомнить, что прямоугольным треугольником называется треугольник, который содержит в себе прямой угол. Значит, у двух прямоугольных треугольников, один из углов всегда равен другому. А один из острых углов так же равен соответственному углу в другом треугольнике. Значит, в таких треугольниках есть два равных между собой угла, и треугольники подобны по первому признаку подобия.
- Второй признак: по двум катетам. Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны. Между двумя катетами всегда заключен прямой угол. Значит, у нас имеется две пропорциональные стороны и равные углы между ними. Тогда треугольники подобны по третьему признаку подобия.
- Третий признак: по катету и гипотенузе. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны. Для доказательства признака нужно вспомнить понятие косинуса. Косинус угла это отношения прилежащего катета к гипотенузе.
$$cos(ACB)={BCover{AC}}$$
$$cos(DHP)={PHover{DH}}$$
При этом по условию: $${ACover{DH}}={BCover{PH}}$$. Из условия выразим ВС и подставим в значение косинуса.
$$ВС=РН*{АCover{DН}}$$
$$cos(ACB)={BCover{AC}}={PH*{ACover{DH}}over AC}={PHover{AC}}$$ – то есть косинусы углов равны, оба угла острые, значит и углы равны. Тогда треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними.
Что мы узнали?
Мы разобрали понятие подобия, выделили все определения и теоремы, необходимые для доказательства трех признаков подобия прямоугольных треугольников. Мы показали, что эти признаки лишь следствие основных, т.е. эти свойства созданы чтобы упростить и сделать быстрее решение. А это значит, что если вдруг вы забыли признаки для прямоугольного треугольника, то всегда можно воспользоваться общими.
