Линейные уравнения это первый шаг на пути изучения огромного количества самых разных уравнений. Именно в этой теме ученики усваивают важнейшие приемы решения. Чтобы не упустить ни одну из мелочей курса математики 6 класса, разберемся в вопросе подробнее.
Можно написать уравнение с двумя и большим количеством переменных, но такое выражение решить не получится. Запомните, даже в системах уравнений, количество переменных должно равняться количеству уравнений. Например, система:
х+3=2
у+х=3
Z+у=4 – имеет решение. А вот уравнение:
Х+у=12 – однозначных решений не имеет. Почему? Решением называется строго определенные числа, которые удовлетворяю требованиям равенства. То есть:
Х+3=5
Неизвестная имеет только одно решение. В уравнении х+у=12 – решений бесконечно много. Число х может быть любым, как только мы выберем и подставим любое число, изменится в соответствии с нашим выбором и у. Поэтому и говорят, что у такого уравнения нет определенных решений.
Виды уравнений
Выделяют следующие виды уравнений:
- Линейные. Уравнения с 1 неизвестной в первой степени.
- Степенные. Это выражения с переменными в любой степени. Нужно понимать, что подкоренные выражения так же преобразуются в степень. Поэтому радикальные и степенные уравнения решаются по сходным правилам.
- Дробно-рациональные. Любые уравнения с дробными выражениями, в знаменателе которых есть переменная. Дроби, в знаменателе которых переменной нет, не считаются дробно рациональными уравнениями.
- Логарифмические. Уравнения с неизвестными под знаком логарифма
- Дифференциальные и интегральные. Уравнения с производными и интегралами.
Выделяют так же системы уравнений, где несколько тождеств имеют одинаковые значения переменных. В таких уравнениях часто используют способ подстановки, заменяя одну переменную другой.
Способы решения линейного уравнения
Любое уравнение можно решить двумя способами:
- Аналитическим, то есть с помощью математических вычислений. Этот способ хорош своей точностью
- Графическим, то есть с помощью построения на графике. Этот способ хорош возможностью использования практически в любой ситуации. К нему прибегают, когда найти корень с помощью вычислений невозможно.
Рассмотрим каждый из способов.
Графический способ
Для понимания графического способа нужно вспомнить, что такое функция. Функция это зависимость одной переменной от другой. Выражение, которое мы записали в начале: х+у=12 – как раз является функцией. Перенесем х в левую сторону выражения и запишем функцию в классическом виде.
у=12-х – функция имеет форму линии, откуда и название функции и соответствующего ей уравнения. Значение корня любого уравнения это одна или несколько точек на графике функции. Точки эти задаются пересечением с графиком другой функции.
Например, уравнение х+7=13 можно разбить на две функции:
у=х+7
у=13 – в первом случае это прямая линия. Во втором, прямая линия, которая проходит параллельно оси Оу через точку 13 на оси Ох. Точка пересечения двух графиков и будет решением уравнения.
Аналитический способ
Аналитический способ решения линейных уравнений подразумевает перенос величин из одной части выражения в другую с заменой знака. Смысл переноса в том, чтобы собрать все неизвестные в одной части уравнения, а все числа в другой.
Приведем пример линейного уравнения: 2х-7х+15=0
2х-7х+15=0 – соберем все значения х в правой части, а числа в левой
2х-7х=-15
-5х=-15 – теперь поделим обе части выражения на коэффициент при неизвестном, т. е. на число -5
х=3
Что мы узнали?
Мы поговорили о видах уравнений. Разобрали, какие уравнения нельзя решить и привели объяснение. Выделили и разобрали на примерах два способа решений линейных уравнений.
