Тригонометрические уравнения – это весьма трудный раздел. После изучения в школьной программе, он встречается только в высшей физике и математике, в редких разделах программирования. Это делает тему несколько отдаленной и запутанной, но не менее интересной.
Определения пригодятся при изучении единичной окружности.
Тригонометрические уравнения
Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестное стоит в аргументе тригонометрической функции. В этом случае, ответом будет являться угол, выраженный в радианах. Причем значение этого угла будет повторяться с определенной периодичностью (чаще всего 2pi)
Примеры
Существует два способа решения тригонометрических уравнений. Первый – это алгебраический, когда для упрощения уравнения, тригонометрическую функцию целиком заменяют на неизвестное.
Само собой разумеется, что замена не должна совпадать с изначальной переменной.
Второй способ подразумевает под собой тригонометрические преобразования. В ходе решения пользуются формулами тригонометрии для получения результата.
Алгебраический метод
$$2sinx^2+3sinx−2=0$$
В формуле тригонометрического уравнения сразу видны признаки алгебраического метода: использованы одинаковые функции, при одинаковых аргументах. Различны только численные коэффициенты.
В такой ситуации нужно заменить тригонометрическую функцию на неизвестное и решить уравнение. В нашем случае тригонометрическая функция имеет вид: $sin(x)$
$$sin(x)=у$$
$$2у^2+3у-2=0$$
Решим квадратное уравнение. Найдем значение дискриминанта:
$$D=b^2-4ac=3^2+4*2*2=25$$
$$y1={{-b+sqrt{D}}over{2a}}={{-3+sqrt{25}}over{2*2}}=0,5$$
$$y2={{-b-sqrt{D}}over{2a}}={{-3-sqrt{25}}over{2*2}}=-2$$ –этот корень будет являться корнем полученного квадратного уравнения, но при этом не подходит для тригонометрического уравнения. Потому что значения синуса и косинуса должны находится в пределах от -1 до 1
Значит:
y1=0,5
$$sin(x)=0,5$$
$$х={{pi}over3}+{{pi}over2}$$
Тригонометрический метод
Решим уравнение: $$2sin(x^2)+3cos(x^2)−2=0$$
Для решения уравнений придется воспользоваться некоторыми преобразованиями:
$$2sin(x)^2+3cos(x)^2−2=0$$
Обратим внимание, что и косинус и синус имеют один и тот же аргумент. Воспользуемся этим и выделим одинаковое количество синусов и косинусов, после этого вынесем это самое количество за скобку, а квадраты синусов и косинусов сложим по основному тригонометрическому свойству.
$$2sin(x^2)+3cos(x^2)−2=0$$
$$2sin(x^2)+2cos(x^2)+ cos(x^2)−2=0$$
$$(2sin(x^2)+2cos(x^2))+ cos(x^2)−2=0$$
$$2(sin(x^2)+cos(x^2))+ cos(x^2)−2=0$$
$$2 +cos(x^2)−2=0$$
$$cos(x^2)=0$$
$$cos(x)=0$$
$$x=({{pi}over2}+pi)$$
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое тригонометрические уравнения. Научились их решать и привели примеры решения для каждого из двух основных методов. Выделили основные навыки и знания, необходимые для правильного решения уравнений такого рода.
