Квадратное уравнение – это основа большей части задач и примеров школьного курса математики. Разложение квадратного уравнения на множители – процесс необходимый для решения дробно рациональных уравнений.
Формула разложения на множители
Но как же так получается, что говорим мы о квадратном трехчлене, а решать придется квадратное уравнение? Давайте разбираться.
Вот формула квадратного трехчлена:
$$aх^2+bx+c$$ – это просто выражение.
А квадратное уравнение это тождество, т.е. равенство:
$$ax^2+bx+c=0$$ – это не значит, что квадратное уравнение нельзя разложить по этой формуле. Можно, но это будет бессмысленно. Потому как примеры с квадратными уравнениями требуется найти корни квадратного уравнения, а для того, чтобы использовать формулу разложения квадратного трехчлена на множители придется сначала решить квадратное уравнение.
Формула выглядит так:
$$aх^2+bx+c=а(х-х_1)(х-х_2)$$, где $х_1 и х_2$ – корни квадратного уравнения.
Пример использования
Приведем пример использования данной формулы.
Необходимо упростить многочлен:
$${{7x^2-21x-70}over{7x+14}}$$
Обратите внимание, что в числители у всех коэффициентов есть общий множитель 7, в знаменателе так же можно вынести этот множитель за скобки.
$${{7x^2-21x-70}over{7x+14}}= {{7x^2-3x-10}over{7(x+2)}}={{x^2-3x-10}over{x+2}}$$
Теперь обратим внимание на квадратный трехчлен в числителе. Выпишем его отдельно и запишем квадратное уравнение, соответствующее этому квадратному трехчлену.
Это именно квадратное уравнение соответствует трехчлену, а не трехчлен равен нулю. Значение трехчлена не будет определено, пока не будут задано значение переменных или значение, которому равен многочлен.
$$x^2-3x-10=0$$
Решим квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета.
$$х_1+х_2=3$$
$$х_1*х_2=-10$$
Простым подбором можно быстро найти корни:
$$х_1=5$$
$$х_2=-2$$
Применим формулу.
Если при х^2 нет коэффициента, значит он равен единице. В любых формулах коэффициент 1 можно не писать. Это подразумевается само собой.
$$x^2-3x-10=(х-5)(х+2)$$
Запишем результат в изначальный многочлен:
$$ {{x^2-3x-10}over{x+2}}= {{(х-5)(х+2)}over {x+2}}=(х-5 )$$
Запишем изначальный многочлен и результат:
$${{7x^2-21x-70}over{7x+14}}= (х-5)$$
Что мы узнали?
Мы разделили понятия квадратного уравнения и квадратного трехчлена, разобрались с понятием формулы разложения на множители квадратного уравнения и привели пример использования этой формулы.
