Равносторонний треугольник стоит особняком среди всех фигур: в нем легко можно найти значение всех сторон и углов, так как все углы известны заранее, а найдя одну сторону, можно найти сразу все три. Но именно из-за этих свойств, составители задач любят писать каверзные условия, в которых не всегда можно разобраться с первого раза, например, не всегда можно понять, что такое медиана, потому что человеку проще воспринимать понятие высоты, нежели медианы. Рассмотрим же понятие медианы в равностороннем треугольнике подробно.
Из этого следует, что любая высота равностороннего треугольника является медианой и биссектрисой, так как любая высота проводится к стороне, которую можно считать основанием.
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположно стороны. Медиана также имеет ряд свойств, которые можно использовать в решении задач.
Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делят эту точку в отношении 2:3, считая от вершины. При этом медианы разбивают треугольник на 6 разновеликих треугольников. Если посмотреть на рисунок, то можно увидеть, что в равностороннем треугольнике каждый из 6 этих треугольников будет прямоугольным.
Формула медианы равностороннего треугольника
Выведем формулу медианы равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике АВС проведем высоту АН. Она же будет являться медианой и высотой. Медиана разобьет треугольник на два прямоугольных: АНС и АНВ. Рассмотрим треугольник АНС.
В нем применим теорему Пифагора:
$$АС^2=AH^2+HC^2$$
$$AH=sqrt{AB^2-BH^2}$$
Каждую из сторон обозначим буквой а. Тогда АВ=а; $$ВН={аover2}$$
$$АН=sqrt{a^2-{aover2}^2}=sqrt{a^2-{a^2over4}}$$
Это и есть формула медианы равностороннего треугольника. С другой стороны, можно воспользоваться тригонометрическими тождествами и вывести еще одну формулу:
$$sin(ACH)={AHover AC}$$
При этом угол АСН равен 60 градусам. Значит, можно определить синус угла: $$sin(ACH)={sqrt{3}over 2}$$
Выразим значение медианы АН
$$АН=sin(ACH)*AC={sqrt{3}over2}*AC={sqrt{3}over2}*a$$
Вот еще одна формула, характерная для равностороннего треугольника.
Задача
Для закрепления темы решим простую задачу на обратное использование формулы медианы.
В равностороннем треугольнике медиана равна $$20over{sqrt{3}}$$. Найти площадь треугольника.
Для нахождения площади воспользуемся классической формулой.
Классическую формулу можно использовать для нахождения площади любого треугольника.
Для нее нам нужно значение стороны и высоты. Высота в равностороннем треугольнике совпадает с медианой, поэтому нужно найти только сторону. Выразим ее через формулу медианы равностороннего треугольника.
$$m={sqrt{3}over2}*a$$
$$a={mover{sqrt{3}over2}}=m*{2oversqrt{3}}$$
Подставим в формулу значение медианы:
$$a={20oversqrt{3}}*{2oversqrt{3}}={40over3}$$
Посчитаем площадь:
$$S={1over2}*a*m={1over2}*{40over3}*{20 oversqrt{3}}={400over{3sqrt{3}}}$$
Что мы узнали?
Мы вывели две формулы медианы равностороннего треугольника, дали определения, необходимые для решения задач и решили небольшую задачу для закрепления знаний.
