Наибольший общий делитель – это еще один показатель, позволяющий упростить работу с дробями. Очень часто в результате вычислений получаются дроби с очень большими значениями числителя и знаменателя. Сокращать поэтапно такие числа можно, но это крайне долго, поэтому проще сразу найти НОД и сократить на него. Разберемся в теме подробнее.
Как найти НОД?
Для того, чтобы найти НОД необходимо каждое из чисел разложить на простые множители и выделить общую часть.
Специальной формулы для этого не придумали, зато есть алгоритм вычисления.
Приведем пример нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел: 540 и 252. Разложим 640 на простые множители. Последовательность действий такова:
- Делим число на наименьший из возможных простых чисел. То есть, если число можно разделить на 2, 3 или 5, то сначала нужно делить на 5. Просто, чтобы не запутаться.
- Получившийся результат делим на наименьшее из возможных простых чисел.
- Повторяем деление каждого полученного результата, пока не получим простое число.
Теперь проведем ту же процедуру на практике.
- 540 : 2=270
- 270:2=135
- 135 : 3 =45
- 45 : 3=15
- 15 : 5 = 3
Запишем результат в виде равенства 540=2*2*3*3*3*5. Для того, чтобы записать результат, нужно последнее получившееся число умножить на все делители.
Аналогично поступим с числом 252:
- 252 : 2=126
- 126: 2=63
- 63 : 3=21
- 21 : 3 = 7
Запишем результат: 252=2*2*3*3*7.
В каждом разложении есть одинаковые числа. Найдем их, это два числа 2 и два числа 3. Отличаются только 7 и 3*5. Для того, чтобы найти НОД нужно перемножить общие множетели. То есть в произведении будет две двойки и две тройки.
НОД=2*2*3*3=36
Как можно это использовать?
Задача: сократить дробь $$252over540$$.
НОД для двух этих чисел мы уже находили, теперь просто воспользуемся уже посчитанным значением.
НОД = 36
Сократим числитель и знаменатель дроби на 36 и получим ответ.
$${252over540} ={7over15}$$ – чтобы быстро сократить, достаточно посмотреть на разложение чисел.
Если 540=2*2*3*3*3*5, а НОД=36=2*2*3*3, то 540 = 36*3*5. И если мы поделим 540 на 36, то получим 3*5=15.
Без НОД нам пришлось бы в одну длинную строку писать сокращения. К тому же, бывают случаи, когда непонятно, можно ли сократить дробь вообще. Для таких ситуаций в математике и придумали разложение чисел на простые множители и НОД.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое наибольший общий делитель пары чисел, разобрались, как можно использовать показатель на практике, решили задачу на нахождение НОД и применение НОД для сокращения дробей. Поняли, что с использованием НОД можно проще и быстрее сократить громоздкие дроби, найдя НОД для числителя и знаменателя.
