Формулы сокращенного умножения это основные формулы математики, которые необходимо знать для увеличения скорости счета. Рассмотрим по блокам все формулы и их назначения.
Первыми идут формулы суммы и разности квадратов. Формулу суммы мы уже знаем.
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
Квадрат разности не сильно отличается.
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
Знак минуса вполне логичен, и его достаточно просто запомнить.
Второй этап
Следующими запоминают куб суммы и куб разности. Они учатся быстрее, просто запоминаясь по аналогии.
$$(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3a*b^2+b^3$$
$$(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3a*b^2-b^3$$
Третий этап
Дальше идут формулы суммы и разности кубов, а так же разность квадратов. Разность квадратов записывается достаточно легко.
$a^2+b^2=(a+b)(a-b)$ – а вот формулы суммы квадратов нет. В начале в 5 классе на математике очень часто путаются формулы квадрата разности и разности квадратов. Попробуем научиться их различать.
Что такое разность квадратов? Это два числа в квадрате, из одного вычитается другое. А что такое квадрат разности? Из одного числа вычли другое, а результат возвели в квадрат. Достаточно один раз запомнить, а лучше понять это объяснение и проблем с этими двумя формулами не будет никогда.
Четвертый этап
Следующими и последними идут формулы суммы и разности кубов. Они немного сложнее и для облегчения их запоминания придумали понятие неполного квадрата суммы и неполного квадрата разности.
Вспомним формулу квадрата суммы.
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
Обратим внимание на вторую часть.
$$a^2+2ab+b^2$$ – это и называется полным квадратом суммы. А неполным называется выражение:
$$a^2+ab+b^2$$. Это легко запомнить. По аналогии неполный квадрат разности: $a^2-ab+b^2$.
Теперь приведем формулы суммы и разности кубов.
$$a^3+b^3=(a+b)( a^2-ab+b^2)$$ – сумма кубов это произведение суммы чисел на неполный квадрат разности этих чисел.
$$a^3+b^3=(a-b)( a^2+ab+b^2)$$ – разность кубов это произведение разности чисел на квадрат суммы этих чисел.
Как показывает практика, последние две формулы проще запомнить в словесной форме.
Понятие неполного квадрата еще не раз встретится на просторах математики школьного курса. Поэтому запомнить его придется в любом случае. Некоторые учебники приводят таблицы формул для лучшего их запоминания.
Что мы узнали?
Мы привели не просто примеры формул сокращенного умножения, а записали весь список. Разбили формулы на 4 небольших блока, каждый из которых достаточно легко запоминается. Поговорили о сложных моментах, для больших формул привели методы быстрого запоминания. Указали на наиболее частые ошибки, которые возникают при запоминании формул и привели определение формулы неполного квадрата.
