Вычитание дробей само по себе достаточно сложная задача, а уж вычитание дробей с разными знаменателями и вовсе порой ставит учеников 5 класса в ступор. Поэтому стоит разобраться в этой теме подробнее раз и навсегда.
При вычитании дробей мы создаем новую дробь, в числителе которой будет разность числителей изначальных дробей, а знаменатель останется прежним.
Следующим преобразованием будет вычисление разности в числителе.
Вычитание дробей с разными знаменателями
Если у дробей разные знаменатели, то необходимо первым делом привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно воспользоваться правилом дробей.
Основное свойство дробей заключается в том, что при умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, значение дроби не изменится. Это обусловлено тем, что по факту дробь является не законченной операцией деления, а умножение делителя и делимого на одно и то же число не изменит частное.
Как найти общий знаменатель?
Общей знаменатель это НОК или наименьшее общее кратное. Наименьшее общее кратное двух и более чисел, это число, которое делится на каждое из них.
Для нахождения наименьшего общего кратного ряда простых чисел, нужно просто перемножить их между собой.
$$НОК=3*5*7=105$$
Но что будет, если в ряде будет три сложных числа?
18,15,25 – найдем для этого ряда НОК.
Для этого, каждое из чисел нужно разложить на простые множители.
$$18=2*3*3$$
$$15=3*5$$
$$25=5*5$$
Для того, чтобы найти НОК нужно перемножить простые множители чисел, которые еще не встречались.
Начнем с числа 2. Двойка встречалась только в простых множителях числа 18, вычеркнем ее.
$$НОК=2*…$$
Следующее число 3. Вычеркиваем одну тройку из разложения числа 18 и из разложения числа 15.
$$НОК=2*3…$$
У нас осталась еще одна тройка в разложении числа 18.
$$НОК=2*3*3…$$
Теперь посмотрим, какое число осталось в разложении 15. Это 5:
$$НОК=2*3*3*5…$$
Вычеркиваем одну 5 из разложения числа 15 и одну из разложения числа 25. Осталось одно число, множители которого не зачеркнуты: это 25, где осталась одна 5. Добавим ее в НОК и получим окончательное значение:
$$НОК=2*3*3*5*5=450$$
Так нужно действовать с любым рядом чисел, для которых необходимо найти НОК.
Пример
Теперь рассмотрим пример вычитания дробей с разным знаменателем. Найдем следующую разность:
$${37over{81}}-{91over{180}}$$
- Первым шагом нам нужно найти будущий общий знаменатель, который будет являться НОК(81,180)
Разложим на простые множители число 81
81=3*3*3*3
Разложим на простые множители число 180
180=2*2*3*3*5
Значит, для того, чтобы получить НОК нам необходимо домножить 81 на 5*2*2 или домножить 180 на 3*3. Второй вариант немного проще, поэтому используем его:
180*3*3=180*9=1620
Для того, чтобы сложное число умножить на 9 необязательно умножать. Можно упростить вычисления следующим образом: умножить число на 10 и вычесть это же число. То есть: 180*9=180*10-180=1800-180=1620
- Теперь приведем каждую из дробей к общему знаменателю:
$${37over{81}}={{37*20}over{81*20}}={{740}over{1620}}$$
$${91over{180}}={{91*9}over{180*9}}={{809}over{1620}}$$
- Вычтем получившиеся значения:
$${{740}over{1620}}-{{809}over{1620}}={{740-809}over{1620}}=-{{69}over{1620}}$$ – получилось отрицательно число, но в этом нет ничего страшного. Просто изначально уменьшаемое было меньше вычитаемого
Что мы узнали?
Мы узнали, как правильно вычитать дроби с разными знаменателями, поговорили о том, как находить НОК и решили небольшой пример.