Упрощение выражений – это возможность быстро посчитать достаточно сложный пример или свернуть сложный многочлен, выведя за скобки некоторые его члены. Навыки упрощения помогают в решении уравнений, развитии умения быстрого счета и сокращении дробей. Поговорим подробнее о методах упрощения численных выражений и многочленов.
Например: $12*30*5=12*5*30=60*30=1800$
Приведение подобных членов
Любой многочлен состоит из одночленов. Одночлены это произведение числа и буквы. Несколько одночленов с одинаковой буквенной частью могут приведены, то есть их числовые коэффициенты могут быть сложены или вычтены.
Приведем пример:
$$56а+7с-45с+74а+в-54х=130а-38с+в-54х$$
Для удобства лучше подчеркивать каждый одночлен с одинаковой буквенной частью чертой. Просто, чтобы не пропустить сходные одночлены. Привели слагаемые – подчеркнули. Последовательность и внимательность позволят не допустить ошибок. А со временем опыт позволит выполнять операции в разы быстрее.
Вынесение за скобки
Еще один прием, позволяющий быстро упростить многочлен это вынесение за скобки. Для того, чтобы им воспользоваться необходимо найти общий член у слагаемых в формуле и вынести его за скобку.
Для примера сократим дробь $${{9а^2+9ас+ав+вс}over{9а+в}}$$
Для начала просто выпишем числитель. Сгруппируем первые два и последние два слагаемых. А потом вынесем за скобки общий член.
$а^2+9ас+ав+вс=(9а^2+9ас)+(ав+вс)= 9а({9а^2over9а}+{9асover9а})+в({авoverв}+{всoverв})=$
$$9а(а+с)+в(а+с)$$
В результате вынесения образовался еще один общий множитель (а+с) Вынесем его за скобки.
$$9а(а+с)+в(а+с)=(9а+в)(а+с)$$
Запишем начальное и конечное выражение.
$$9а^2+9ас+ав+вс=(9а+в)(а+с)$$
Теперь снова запишем дробь. Сократим ее для записи в ответ.
$${{(9а^2+9ас+ав+вс)}over{9а+в}}= {(9а+в)(а+с) over(9а+в)}=а+с$$
В результате большая дробь превратилась в маленький многочлен. Главное не бояться размеров выражений и пробовать разные варианты решений.
Пример
Для закрепления знаний решим сложный пример.
Необходимо упростить выражение:
$${{а(b+d)+(b^2+bd+d^2)-3d^2}over{(a+b)(b+d)}}+{{2d^2}over{(a+b)(b+d)}}$$
Первое, что сразу же бросается в глаза, – это одинаковые знаменатели у обеих дробей. Значит, сложим числители под одной чертой дроби.
$${{а(b+d)+b^2+bd+d^2-3d^2}over{(a+b)(b+d)}}*{2d^2over{(a+b)(b+d)}}=$$
$${{а(b+d)+b^2+bd+d^2-3d^2+2d^2}over((a+b)(b+d))}$$
Скобку b+d оставим на прежнем месте, потому что такая же есть в знаменателе. Может быть удастся ее сократить. Приведем подобные слагаемые и посмотрим, сможем ли мы выделить общий множитель в числители. Рассматривать его будем отдельно от знаменателя.
$$а(b+d)+b^2+bd+d^2-3d^2+2d^2= а(b+d)+b^2+bd$$
Сразу видно, что у двух свободных одночленов имеется общий множитель b
$$a(b+d)+b^2+bd=a(b+d)+b(b+d)=(a+b)(b+d)$$ – а это и есть знаменатель дроби. Значит, дробь можно сократить
$${{а(b+d)+b^2+bd+d^2-3d^2+2d^2}over{(a+b)(b+d)}}= {(a+b)(b+d)over{(a+b)(b+d)}}=1$$
Вот и все.
Очень часто при упрощении выражений получается небольшой многочлен, 1 или 0, но это не значит, что других результатов быть не может. Просто так легче сделать первые шаги в обучении данному навыку.
Если в результате решения получается что-либо «простое», то сразу возникает уверенность в собственных силах. Специальной формулы нет хотя есть таблицы формул сокращенного умножению, которые начинают учить примерно с математики 5 класса.
Что мы узнали?
Мы узнали, какие методы существуют для упрощения выражений и разобрали эти методы и алгоритмы на практике. Решили несколько примеров, подробно разобрав алгоритм размышлений при решении.
