Прямоугольный треугольник фигура особенная настолько, что для каждой из его сторон придумали отдельное название. Кроме того, существуют специальные способы нахождения сторон несколькими способами. Поговорим о каждом из них, обоснуем все формулы и решим несколько задач для примера.
Что необходимо для того, чтобы без проблем решать треугольники, т. е. находить значение всех сторон и углов в прямоугольном треугольнике? Не так много: теорему Пифагора и тригонометрические тождества.
Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе. А косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Задача 1
У сейфа ключ имеющий сечение прямоугольного треугольника. Для того, чтобы мастеру изготовить новый ключ, взамен утерянного, нужно восстановить значения сторон треугольника. Хозяин сейфа помнит только, что для измерения пользовался ниточкой в 1,5 см. И обмеряя каждую сторону он использовал ниточку 3,4 и 5 раз. Найти значение сторон прямоугольного треугольника.
У этой задачи интересная формулировка. Но по факту, если обозначить за букву, а размер нити, то получим размеры сторон прямоугольного треугольника: 3а, 4а и 5а. Гипотенуза будет размером 5а, так как это наибольший размер стороны.
Тогда, значение а нам известно: а=1,5. Найдем значение каждой из сторон.
$$3а=3*1,5=4,5$$
$$4а=4*1,5=6$$
$$5а=5*1,5=7,5$$
Вот и все решение задачи. Главное разобраться в условии и решение не покажется сложным.
Задача 2
В равнобедренном прямоугольном треугольнике основание равняется 8, а медиана, проведенная к гипотенузе, – 2. Найти катеты треугольника.
В этой задаче снова немного закручено условие. Для начала нужно разобраться, какая из сторон является основанием.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике основание – это всегда гипотенуза.
Если катет станет основанием, то другой катет и гипотенуза были бы равны между собой по определению равнобедренного треугольника, как боковые стороны. Но это невозможно, значит, основание это всегда гипотенуза.
Медиана проведена к гипотенузе, а значит к основанию. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является одновременно медианой, биссектрисой и высотой. Значит у нас есть значение основании и высоты. Найдем площадь, как половину произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию
$$S= {1over2}*2*8=8$$
С другой стороны, в прямоугольном треугольнике площадь равна половине произведения катетов, а они в равнобедренном треугольнике равны.
$$S={1over2}*а*а={1over2}*a^2$$
Приравняем значения площади и выразим катет:
$$8={1over2}*а^2$$
$$a^2=16$$
$$a=4$$
Ответ найден. Как видно из двух задач, единственная проблема в нахождении сторон прямоугольного треугольника – это разобраться в условии.
Что мы узнали?
Мы разобрались с вопросом нахождения сторон прямоугольного треугольника. Поговорили о том, как называются стороны такого треугольника. Выделили формулы и теоремы, необходимые для решения прямоугольных треугольников.
