Дроби – это первое серьезное препятствие в курсе математики 5 класса. Если геометрическая часть преодолевается учениками без особых проблем, то понять, что складывать и вычитать можно не только целые числа, но и их части. Поэтому чтобы разобраться в сложении и вычитании дробей с разными знаменателями раз и навсегда поговорим о этой теме подробнее.
Приведем пример все с той же дробью:
$$5:7={5over{7}}$$ – так это выглядит при записи в виде цифр.
Зачем это нужно? Дело в том, что не всякое деление можно довести до конца, то есть может выйти либо деление с остатком, либо бесконечный результат. А потому в точных вычислениях используют подобные заменители, ведь пока вы не получили результат выражение будет считаться абсолютно точным.
В школьном курсе математики ставится задача научить учеников работать с дробями, чтобы облегчить точные расчеты в будущем.
Сложение дробей
Сложение и вычитание дробей процесс, который целиком и полностью зависит от числителя. Рассмотрим сложение двух дробей: ${5over{7}} и {9over{13}}$
Рассмотрим дроби, как операции деления, чтобы понять, зачем нужно перед сложением приводить дроби к одинаковым знаменателям:
$${5over{7}}+{9over{13}}=(5:7)+(9:13)$$ – дело в том, что при сложении дробей используется сочетательное свойство деления, которое говорит о том, что при делении двух слагаемых на одно и то же число, можно сначала сложить слагаемые, а потом сумму разделить на это число.
В виде формулы это выглядит так:
а:с+в:с=(а+в):с
Теперь становится ясно, зачем нужно приведение к одному знаменателю: иначе свойство работать не будет. А теперь доведем пример до конца:
$${5over{7}}+{9over{13}}$$ – каждый из знаменателей домножим на другой знаменатель.
В общем случае нужно найти НОК, но если НОК ищется для простых чисел, то достаточно перемножить их между собой.
Общий знаменатель в нашем случае: 7*13=91 – в первой дроби необходимо домножить числитель и знаменатель на 13, а во второй на 7.
$${5over{7}}+{9over{13}}={{5*13}over{7}}+{{9*7}over{13}}={{65+63}over{91}}={128over{91}}$$ – в нашем случае результатом стала неправильная дробь. Так как это конечный итог вычислений, то можно как выделить целую часть, так и оставить результат как есть.
Вычитание дробей
Если перед вами разность дробей с разными знаменателями, то смысл операций абсолютно не меняется, так как сложение и вычитания есть одна операция, которая называется математическое сложение.
Для примера разберем разность дробей:
$${1over{3}}-{1over{5}}$$ – оба знаменателя являются простыми числами, а потому общим знаменателем будущего результата будет число: 3*5=15
$${1over{3}}-{1over{5}}={5over{15}}-{3over{15}}={{5-3}over{15}}={2over{15}}$$ – как видите, изменилась лишь операция в числителе: вместо сложения стало вычитание при том же порядке действий.
Что мы узнали?
Мы поговорили о дробях. Узнали, что это такое, как складывать и вычитать дроби. Выяснили, почему для сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, нужно сначала привести числа к одному знаменателю.
