Любая фигура имеет некие рамки, пропорции длин сторон. В реальной жизни они помогают определить, можно ли изготовить треугольное основание определенных пропорций, насколько возможно создать линзу той или иной формы или может ли удержаться табуретка на треугольном, квадратном или любом другом основании. В теоретической геометрии пропорции, как правило, применяют для решения задач на доказательство или для определения правильности условия задачи.
Доказать это определение можно двумя способами: через аксиому Евклида или через высоту треугольника. Последний способ более логичен, тогда как второй – короче. Какой выбрать – решает доказывающий.
Доказательство через аксиому
Существует аксиома, которая говорит, что для трех точек А, В, С не лежащих на одной прямой справедливо утверждение: АВ< ВС+АС.
Эти точки можно принять за вершины треугольника, тогда расстояния между точками это стороны треугольника.
В произвольном треугольнике АВС проведем высоту АН. Высота разобьет произвольный треугольник на два прямоугольных. Тогда для каждого из прямоугольных треугольников в виде неравенств запишем, что катет всегда меньше гипотенузы.
Гипотенуза всегда больше катета потому, что в треугольнике действует отношение сторон и углов. Поэтому напротив наибольшего угла всегда находится наибольшая сторона. А в треугольнике наибольшим углом всегда является угол в 90 градусов.
ВН<АВ и НС<АС
Сложим два неравенства. Для этого нужно сложить правые части неравенств и левые с сохранением знака.
Например:
6<8
1<5
6+1<8+5
7<13, как видно неравенство все еще верно. Теперь проделаем ту же операцию с соотношением сторон в треугольнике:
ВН+НС<АВ+АС
ВН+НС=ВС
Значит, ВС<АВ+АС, то есть сторона меньше суммы двух других сторон, что и требовалось доказать. Высоту можно провести к любой стороне и повторить аналогичное доказательство. Как видно, все просто и ясно. Самое трудное: это разобраться в сложении неравенств.
Что мы узнали?
Мы узнали о теореме неравенства треугольников. Доказали ее различными способами, а также поговорили о том, для чего в мире нужны понятия пропорций в фигурах.
