Как делить многочлен на многочлен: правила и примеры

Деление многочлена на многочлен – важная операция в алгебре, которая позволяет найти частное и остаток от деления двух многочленов. Данное правило основывается на алгоритме деления с делителем, представленным многочленом.

Основной шаг в делении многочлена на многочлен – это поочередное деление ведущих членов делимого на ведущие члены делителя. Как только ведущий член делителя совпадает с ведущим членом делимого, производится вычитание этих членов, а результат записывается в частное.

Остаток от деления определяется по следующему принципу: если остаток равен нулю, то деление прошло без остатка и многочлен делится на делитель нацело. Если же остаток не равен нулю, то деление не прошло без остатка, и остаток является остатком от деления.

Рассмотрим пример деления многочлена на многочлен. Пусть у нас имеется многочлен делимое 6x^3 + 11x^2 — 4x — 8 и многочлен делитель 2x — 1. Вначале определяем ведущие члены делимого и делителя, которые в данном случае равны 6x^3 и 2x соответственно. Пропуская промежуточные шаги, получаем частное 3x^2 + 4 и остаток -3.

Правило деления многочлена на многочлен

Правило деления многочлена на многочлен является важной операцией в алгебре и используется для нахождения частного и остатка при делении одного многочлена на другой.

Для применения правила необходимо выполнить следующие шаги:

1. Представить заданный многочлен в стандартной форме, где члены упорядочены по убыванию степеней переменной.
2. Представить делитель также в стандартной форме.
3. Поделить первый член делимого на первый член делителя и записать результат в частное. Если степень первого члена делимого меньше степени первого члена делителя, записать 0 в частное.
4. Умножить весь делитель на полученное значение и вычесть полученный результат из делимого. Результат записать в промежуточное значение.
5. Повторить шаги 3 и 4 для промежуточного значения, пока степень промежуточного значения не станет меньше степени делителя.
6. Полученное промежуточное значение будет являться остатком, а записанные значения в частное — результатом деления многочлена на многочлен.

Правило деления многочлена на многочлен применяется, например, при решении систем линейных уравнений и нахождении производных многочленов.

Пример:

Дано:

Делимое: 3𝑥³ − 7𝑥² − 6𝑥 + 2

Делитель: 𝑥 − 2

Решение:

1. Стандартная форма делимого: 3𝑥³ − 7𝑥² − 6𝑥 + 2
2. Делитель уже представлен в стандартной форме: 𝑥 − 2
3. Первый член делимого: 3𝑥³. Первый член делителя: 𝑥.
4. 3𝑥³ ÷ 𝑥 = 3𝑥². Умножаем делитель на полученное значение и вычитаем из делимого: (𝑥 − 2) × 3𝑥² = 3𝑥³ − 6𝑥². Промежуточное значение: 3𝑥³ − 7𝑥² − 6𝑥 + 2 − (3𝑥³ − 6𝑥²) = −𝑥² − 6𝑥 + 2.
5. Повторяем шаги 3 и 4 для промежуточного значения: −(𝑥² + 6𝑥) ÷ 𝑥 = −𝑥 − 6. Умножаем делитель на полученное значение и вычитаем из промежуточного значения: (𝑥 − 2) × (−𝑥 − 6) = −𝑥² − 8𝑥 + 12. Промежуточное значение: −𝑥² − 6𝑥 + 2 − (−𝑥² − 8𝑥 + 12) = 2𝑥 − 10.
6. Получили степень промежуточного значения (𝑥) меньше степени делителя (𝑥 − 2). Остаток: 2𝑥 − 10.
7. Результат: Частное — 3𝑥² − 𝑥 − 5, остаток — 2𝑥 − 10.

Итак, многочлен 3𝑥³ − 7𝑥² − 6𝑥 + 2 при делении на 𝑥 − 2 равен 3𝑥² − 𝑥 − 5, а остаток равен 2𝑥 − 10.

Определение

Деление многочлена на многочлен — это математическая операция, которая позволяет найти частное и остаток от деления одного многочлена на другой. Деление производится в соответствии с определенными правилами и алгоритмом, которые позволяют получить точный результат.

При делении многочленов важной ролью играют коэффициенты и степени многочленов. Коэффициенты – это числа, умножающие степени переменной в многочлене, а степень многочлена определяется как наибольшая из степеней его членов.

Результатом деления многочлена на многочлен является частное и остаток. Частное — это многочлен, который получается в результате деления, а остаток — это многочлен, который остается, когда многочлены не делятся нацело.

Деление многочлена на многочлен имеет множество применений в математике, физике и других науках. Оно позволяет решать различные задачи, включая нахождение корней многочленов, нахождение значений функций и т. д.

Шаги деления

Для выполнения деления многочлена на многочлен необходимо следовать определенной последовательности шагов:

1. Расположение многочленов. Разместите делимое и делитель в правильном порядке, где делимое стоит над делителем.
2. Подготовка к делению. Проверьте, что старший член делимого имеет степень, не меньшую степени делителя. В случае необходимости дополните делимое нулями.
3. Выделение частного. Выделите наибольшую степень переменной, которая присутствует и в делимом, и в делителе. Результат будет являться частным от деления.
4. Вычисление. Выполните умножение полученного частного на делитель, а затем вычтите результат из делимого, чтобы получить новое делимое.
5. Проверка завершения деления. Проверьте, что новое делимое имеет степень, меньшую степени делителя. Если это так, перейдите к следующему шагу. Если нет, выполните шаги 3-5 снова.

Только следуя этим шагам, можно правильно выполнить деление многочлена на многочлен и получить корректный результат.

Условия деления

Для того чтобы выполнить деление многочлена на многочлен, необходимо учесть следующие условия:

1. Степень делителя должна быть меньше или равна степени делимого многочлена.
2. Коэффициент при старшей степени делителя должен быть отличен от нуля.

Если эти условия выполняются, то процесс деления многочлена на многочлен может быть выполнен.

Примеры деления многочлена на многочлен

Рассмотрим несколько примеров деления многочлена на многочлен, чтобы лучше разобраться в этой операции.

1. Деление многочлена 4𝑥³ + 5𝑥² − 3𝑥 + 2 на многочлен 𝑥 + 2.

Сначала делим первый член делимого на первый член делителя: 4𝑥³ ÷ 𝑥 = 4𝑥². Затем умножаем полученный результат на делитель и вычитаем из делимого: (4𝑥²)(𝑥 + 2) = 4𝑥³ + 8𝑥². Вычитаем это из исходного делимого: (4𝑥³ + 5𝑥² − 3𝑥 + 2) − (4𝑥³ + 8𝑥²) = −3𝑥² − 3𝑥 + 2. Теперь повторяем процесс с полученным остатком и так далее, пока полученный многочлен не будет иметь степень меньше степени делителя или будет равен нулю.

2. Деление многочлена 2𝑥⁴ − 3𝑥³ + 5𝑥² − 2𝑥 + 1 на многочлен 𝟐𝑥² − 𝟑.

Действуем аналогично первому примеру. Сначала делим 2𝑥⁴ на 2𝑥² и получаем 𝑥². Умножаем его на делитель и вычитаем из делимого. Продолжаем этот процесс, пока не получим остаток, который будет иметь степень меньше степени делителя или будет равен нулю.

Пример 1

Разделим многочлен 3x³ + 5x² — 2x + 1 на многочлен x — 1.

1) Найдем первый член частного деления, разделив первый член делимого на первый член делителя:

3x³ / x = 3x²

2) Умножим результат на делитель и вычтем полученное выражение из делимого:

(3x²)(x — 1) = 3x³ — 3x²

3x³ + 5x² — 2x + 1 — (3x³ — 3x²) = 8x² — 2x + 1

3) Продолжим деление полученного выражения на делитель:

8x² / x = 8x

4) Умножим результат на делитель и вычтем полученное выражение из делимого:

(8x)(x — 1) = 8x² — 8x

8x² — 2x + 1 — (8x² — 8x) = 6x + 1

5) Продолжим деление полученного выражения на делитель:

6x / x = 6

6) Умножим результат на делитель и вычтем полученное выражение из делимого:

(6)(x — 1) = 6x — 6

6x + 1 — (6x — 6) = 7

7) Так как при делении уже невозможно выполнить какие-либо действия, полученное выражение 7 является остатком.

Итак, результатом деления многочлена 3x³ + 5x² — 2x + 1 на многочлен x — 1 является частное 3x² + 8x + 6 и остаток 7.

Пример 2

Рассмотрим пример деления многочлена (2x^3 — 3x^2 + 4x — 5) на многочлен (x — 1).

Сначала проведем деление первых членов многочленов:

2x^3 ÷ x = 2x^2

Умножим полученный результат на делитель и вычтем из исходного многочлена:

(2x^2) * (x — 1) = 2x^3 — 2x^2

(2x^3 — 3x^2 + 4x — 5) — (2x^3 — 2x^2) = -x^2 + 4x — 5

Теперь проведем деление нового многочлена на делитель:

-x^2 ÷ x = -x

Умножим полученный результат на делитель и вычтем из полученного результата:

(-x) * (x — 1) = -x^2 + x

(-x^2 + 4x — 5) — (-x^2 + x) = 3x — 5

Деление окончено, итоговое частное равно (2x^2 — x + 3), а остаток равен (3x — 5).

Пример 3

Рассмотрим многочлен P(x) = 2x^3 — 5x^2 + 4x — 3 и многочлен Q(x) = x + 2.

Необходимо выполнить деление многочлена P(x) на Q(x).

Применяем правило деления многочлена на многочлен:

1. Выписываем делимое в виде дроби: многочлен P(x) над многочленом Q(x).

2. Определяем первый слагаемый частное, деля первый слагаемый делимого на первый слагаемый делителя:

a = 2x^2 — 9x + 22.

3. Умножаем первый слагаемый делителя на найденный первый слагаемый частное и вычитаем из делимого:

P(x) — a*Q(x) = 4x — 27.

4. Повторяем шаги 2 и 3 для полученного многочлена:

b = 4.

P(x) — (a*Q(x) + b) = 0.

5. Получаем частное и остаток:

Частное: P(x) / Q(x) = a + b / Q(x).

Остаток: 0.

Итак, многочлен P(x) = 2x^3 — 5x^2 + 4x — 3 делится на многочлен Q(x) = x + 2 с частным a = 2x^2 — 9x + 22 и остатком 0.