Большая часть признаков делимости чисел не имеет под собой доказательной базы. Это набор наблюдений, которые помогают в быстром счете. Имеющие доказательства слишком сложны для понимания обычных людей, но использовать формулировки признаков сможет каждый в рамках математики 5 класса.
Отдельно оговорим, что деление без остатка подразумевает получение в результате деления целого числа. Это важно, поскольку очень часто ученики делят число, получая в итоге десятичную дробь. Такое деление тоже происходит без остатка, но не может считаться делением нацело. Выполнение признаков делимости говорит о возможности деления числа нацело.
Признаки делимости
Рассмотрим основные признаки делимости.
Делимость на 2
На 2 может делиться любое четное число. Четным числом считается любое число, у которого на позиции единиц стоит любая из следующих цифр:
- 0
- 2
- 4
- 6
- 8
Цифр всего 10: от 0 до 9. Чисел же бесконечное множество. Числа это слова, которые составляют из цифр-букв.
Делимость на 5 и 10
На 5 делятся только числа, которые оканчиваются на 5 и 0. Это легко проверить, если посмотреть на таблицу умножения. В столбце с умножением числа 5, все результаты оканчиваются на 5 или 0. Конечно, в таблице показано умножение на числа от 1 до 10, то тенденция сохраняется и дальше, вплоть до бесконечности. Так число 50000995 будет делиться на 5 нацело.
Число 10 представляет собой произведение чисел 2 и 5. При нахождении признака делимости на это число пользуются следующими рассуждениями: число 10 это произведение 2 и 5. Значит, чтобы число делилось на 10, нужно, чтобы оно делилось на 2 и 5 одновременно. То есть число, которое делится на 10, должно быть четным и оканчивается на 5 или 0. Но четное число не может оканчиваться на 0. Это значит, что на 10 делятся только числа, которые оканчиваются на 0.
Делимость на 3 и 9
Признак делимости на 3 уникален в своем роде. Для того, чтобы убедиться в возможности поделить число на 3, нужно сложить все цифры числа. Если получившаяся сумма делится на 3, то и все число делится на 3. Конечно, в итоге все равно придется проверять какое-то число на делимость. Но сумма цифр всегда в разы меньше самого числа, поэтому этот признак облегчает определение делимости числа.
Делимость числа на 9 определяется по тому же признаку. Если сумма цифр числа делится на 9, то и все число делится на 9.
Делимость на 6
Число 6 представляет собой произведение чисел 2 и 3. Поэтому, чтобы число делилось на 6 необходимо выполнение двух условий:
- Число должно быть четным
- Сумма цифр числа должна делиться на 3.
Что мы узнали?
Мы поговорили о делимости чисел. Рассказали, что такое делимость и как определяется делимость чисел. Выделили основные признаки делимости. Оговорили некоторые способы вывода признака делимости.
