Рациональные уравнения – это еще один способ запутать учеников. Их очень часто путают с иррациональными и дробно-рациональными, а потому путаются в теории. Давайте разберем подробно каждый из видов уравнения: рационального, дробно-рационального и иррационального.
Каждый из подвидов решается по-разному. Линейные уравнения решаются с помощью перенесения множителей из одной части уравнения в другую, квадратные при помощи дискриминанта, по теореме Виета или через вынесение общих множителей, если уравнение неполное.
Степенное уравнение проще всего решить графически:
- Левую часть приравнять к у. Таким образом получится функция.
- Начертить функцию на каком-то участке х, включающем в себя и искомое значении.
- Потом при значении у=0, найти значение х. Это и будет корень уравнения.
Зачастую этот способ является единственно возможным при решении степенных уравнений, хоть и не столь точным, как алгебраический метод.
Алгебраическим методом решения уравнений называется решение при помощи алгебраических преобразований.
Иррациональные уравнения
Что такое иррациональные уравнения? Это уравнения, содержащие в себе выражения под знаком корня любой степени. Для этих уравнений обязательно выполнение проверки и введение ОДЗ функции.
ОДЗ – это интервал значений, которые может принимать х.
Для подкоренных выражений четной степени ОДЗ это значения от 0 до плюс бесконечности. Равносильным будет запись неравенства $х>=0$
Приведем пример простейшего иррационального уравнения.
$$sqrt{3х}=7$$
$$ОДЗ: 3х>0$$
$$x>0$$
$$sqrt{3х}=7$$
$$3х=49$$
$x={49over3}$ – вот и все решение. Иногда для решения иррациональных уравнений так же прибегают к графическому способу.
Дробно-рациональные уравнения
Дробно-рациональные уравнения – это уравнения, содержащие дробь. Разделение можно назвать условным, поскольку обычно после пары преобразований, уравнения сводятся к линейным или степенным, но есть и исключения.
В любом случае, для этого вида рациональных уравнений также важно ОДЗ.
Каково ОДЗ дробей? Оно должно включать единственное условие существования дроби: знаменатель не должен равняться нулю.
Специально, чтобы проверить возможность существования того или иного корня прочерчивают координатную прямую и на ней отмечают отрезками ОДЗ и получившиеся корни. Если корни не входят в ОДЗ их исключают из решения.
Что мы узнали?
Мы дали определение рациональных уравнений, выделили подвиды рациональных уравнений и поговорили о возможностях их решения. Отдельно поговорили о иррациональных уравнениях и дробно-рациональных уравнениях, отметили необходимость ОДЗ в некоторых видах уравнений и привели небольшой пример.
