Дробно-рациональные уравнения – это первая тема уравнений в школьной программе, в которой реально требуется вводить ОДЗ. Справедливости ради, навык записи ОДЗ для любого уравнения полезный навык, но есть ряд уравнений, которые без него решить вообще невозможно. Поэтому такие уравнения представляют определенную сложность.
Решение дробно-рациональным уравнений, как правило, сводится к решению линейных или степенных уравнений. Поэтому перед тем, как преступать к данной теме, нужно повторить навыки решения названных уравнений.
Область допустимых значений
Что такое область допустимых значений? Для того, чтобы понять это стоит вспомнить понятие функции. Функция представляет собой зависимость одной переменной от другой. В общем случае это зависимость переменной y от переменной х. Записывается это так: $y=F(x)$.
Строго говоря, решая уравнение, мы ищем значение х, при котором y принимает значение 0. Именно такой подход позволяет нам пользоваться графическим методом решения уравнения.
Область допустимых значений это какие-то отдельные значения или же интервалы значений х, при которых y существовать не может. Именно дробно-рациональные уравнения являются простейшим примером для изучения ОДЗ.
В дробно-рациональных уравнениях х не должен принимать значения, обращающие знаменатель в ноль, так как тогда значения функции не будет существовать среди действительных чисел. Главное запомнить, что значений не будет именно среди действительных чисел, поскольку в высшей математике число можно разделить на ноль. Но пока стоит исключать корни, превращающие знаменатель в ноль.
Алгоритм решения
Алгоритм решения таких уравнений достаточно прост. Чтобы улучшить понимание, разберем алгоритм на примере дробно-рационального уравнения:
$${{х+2}over{х^2-2х}}-{хover{х-2}}={3over{х}}$$
- Первый шаг в решении это нахождение общего знаменателя.
Обратим внимание на знаменатель первой дроби. Вынесем общий множитель х.
$(х^2-2х)=х(х-2)$ – это выражение содержит как знаменатель второй дроби, так и знаменатель дроби в правой части уравнения. Значит, это выражение и будет общим знаменателем. Если никаких общих черт нет, то наиболее простым решением будет перемножить знаменатели между собой.
- После нахождения общего знаменателя, приводим к нему все дроби и записываем выражение под одной чертой.
$${{х+2}over{х^2-2х}}-{хover{х-2}}={3over{х}}$$
$${{х+2}over{х(х-2)}}-{хover{х-2}}={3over{х}}$$
$${{х+2}over{х(х-2)}}-{хover{х-2}}- {3over{х}} =0$$
$${{х+2}over{х(х-2)}}-{х*хover{(х-2)*х}}- {3*(х-2)over{х(х-2)}}=0$$
$${(х+2-х^2-3(x-2))over{x(x-2)}}=0$$
- Теперь необходимо ввести ОДЗ. Скобки в знаменателе специально не раскрывались, потому как это облегчает введение области допустимых значений. Общий знаменатель не должен равняться нулю.
$$x(x-2)=0$$
$$х_1=0$$
$$х_2=2$$
То есть корни не должны равняться 0 и 2.
- После введения ОДЗ можно смело приравнять числитель к нулю и найти корни уравнения. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет. Это тот принцип, который необходимо запомнить для решения квадратных уравнений.
$х+2-х^2-3(x-2)=0$ – перед нами самое обычное квадратное уравнение. Приведем его к общему виду и решим через теорему Виета.
$$х+2-х^2-3(x-2)=0$$
$$х+2-х^2-3x+6=0$$
$$-х^2-2х+8=0$$
Помножим уравнение на (-1)
$$х^2+2х-8=0$$
Согласно теореме обратной теореме Виета:
$$х_1+х_2=-2$$
$$х_1*х_2=-8$$
$$х_1=2$$
$$х_2=-4$$
- Возвращаемся к ОДЗ. Из найденных корней 2 не может быть использован, а потому $х=2$
Что мы узнали?
Мы узнали, как решать дробно-рациональные уравнения. По пунктам разобрали алгоритм уравнения и привели пример.
