Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминант квадратного уравнения – это число, характеризующее это уравнение, но ничто в математике не берется из ниоткуда. Дискриминант также получился в результате долгого вывода. Рассмотрим этот вывод, чтобы увеличить понимание тематики квадратных уравнений.

Скобка в результате приведения общих множителей даст 0, поэтому смысл выражения не измениться. Именно этот факто дает нам право на введение новых членов.

$x^2+{{2b}over{2а}}*x+{{b^2}over{4a^2}}- {{b^2}over{4a^2}} +{cover{а}}=0$–Сгруппируем в одной части уравнения $x^2+({2bover{2а}})x+({b^2over{4a^2}})$, если обратить внимание, то можно заметить формулу квадрата суммы, где первым членом будет х, а вторым $bover{2а}$. Именно для создания этой формулы и были добавлены дополнительные члены. Оставшиеся члены перенесем в правую часть уравнения.

$(x+{bover{2a}})^2=({b^2over{4a^2}}-{cover{а}})$– в правой части подведем дроби под один знаменатель.

$(x+{bover{2a}})^2={{b^2-4a*c}over{4a^2}}$ – именно числитель правой части и будет являться тем самым загадочным дискриминантом.

$D= b^2-4a*c$

$(x+{bover{2a}})^2={Dover{4a^2}}$

Выведем корни из получившегося выражения.

Нам необходимо извлечь квадратный корень, но подкоренным выражением может являться как положительное, так и отрицательное число.

$$x+{bover{2a}}={{D}over{2a}}$$

$$x= {Dover{2a}}- {bover{2a}}$$

$$x={{D-b}over{2a}}$$

Если под корнем будет отрицательное выражение, то конечный результат нужно записать с минусом:

$$x={{-(D-b)}over{2a}}$$

Вот так и выводится всем привычная формула корней квадратного уравнения.

Ограничения, связанные с дискриминантом

Обозначим, откуда взялось разделение уравнений по количеству действительных корней, связанное с дискриминантом.

Обратим внимание на эту скобку, получившуюся в результате преобразований:

$$(x+{bover{2a}})^2=({Dover{4a}})^2$$

В этом случае, если дискриминант будет являться отрицательным числом, то все выражение в правой части станет отрицательным, тогда число в квадрате будет равняться отрицательному значению. В области действительных чисел это невозможно. Поэтому, если дискриминант отрицательный, действительных корней нет.

Нет именно действительных корней. Среди комплексных чисел решение найдется и для такого уравнения.

Если же дискриминант будет равен 0, то вся дробь в правой части превращается в ноль, и уравнение будет иметь два одинаковых корня:

$$(x+{bover{2a}})^2={Dover{4a}}^2$$

$$(x+{bover{2a}})^2=0$$

$$x+{bover{2a}}=0$$

$$x=-{bover{2a}}$$

Что мы узнали?

Мы нашли дискриминант квадратного уравнения, подробно разобрав каждое действие вывода формулы. Разобрались, откуда взялись ограничения и вывели формулу корней квадратного уравнения.

АлгебраДействительные числа

АлгебраДробно-рациональные уравнения