Деление многочлена на многочлен столбиком достаточно сложная для понимания тема. Ученику трудно выполнять действия с неизвестными. Тем не менее, этот прием часто используется в старшей школе, поэтому лучше сразу разобраться во всех нюансах этой операции.
Простое неизвестное выражается какой-либо буквой, под которой может скрываться любое число. Неизвестные часто домноживают на обычные числа. Так получаются коэффициенты при неизвестных. Например, в одночлене 3а, число 3 является коэффициентом. Коэффициенты при одинаковых неизвестных можно складывать и вычитать. Вот как это выглядит:
3а+4а=7а
Если в выражении складывается несколько неизвестных с коэффициентами, то такое выражение называют многочленом. Если в примере только одно неизвестное, то его зовут одночленом. Сумма или разность одночленов это всегда многочлен. Произведение двух одночленов – всегда одночлен. Деление многочленов может разниться.
Деление неизвестных
В действительности два многочлена можно поделить друг на друга. Для этого, нужно посчитать сколько раз в одном многочлене содержится другой многочлен. Чаще всего результаты таких делений имеют остаток. Но об этом поговорим немного позже.
Делить можно любые неизвестные, например:
7х:7=х – ничего сложного в этом нет
Если в делителе многочлене не содержится одночлен или многочлен делимого, то результатом делении станет дробь с делителем в знаменателе и делимом в числителе. С такой дробью можно работать, как с любым другим одночленом.
Деление многочленов в столбик
Разберем деление многочленов в столбик на примере:
$3а^3+8а^2+8$ – разделим этот многочлен на (а+4)
Для деления многочлены записываются как обычные числа. Проводится вертикальная полоса и горизонтальная, которая делит ее на пополам. Сверху горизонтальной полосы пишут делитель, снизу результат. Делимое записывается слева от вертикальной полосы рядом с делителем.
Сначала определяется наибольшая степень делимого. Это третья степень. Для того, чтобы из делителя получился многочлен третьей степени необходимо умножить делитель на a^2. Численный коэффициент берем тот же.
Если бы при делителе была не 1, а другое число, то коэффициент первого числа результата был бы равен частному коэффициента делимого и коэффициента делителя.
$(а+4)*3а^2=3а^3+12a^2$
Теперь под первыми двумя одночленными делимого записываем получившиеся числа и вычитаем их
$(3а^3+8а^2)- 3а^3-12a^2=-4a^2$ – сносим оставшиеся числа и запишем получившееся выражение:
$-4a^2+8 $ – это остаток деления. Повторим операцию еще раз. Следующее значение результата равняется -4а
$-4a^2+8-(-4a^2-32а)=32а+8$ . Теперь выбираем число 32:
$32а+8-32а-128=-120$. Запишем результат:
$(3а^3+8а^2+8):(а+4)=a^2-4a+32-{120over{а+4}}$ – деление получилось с остатком, но в этом нет ничего страшного. Пример решен.
Что мы узнали?
Мы поговорили о многочленах и одночленах. Выяснили, как делится многочлен на многочлен и привели пример деления многочлена на многочлен столбиком.
