Формула – это одно из важнейших понятий в математике. Основные формулы облегчают расчет и экономят время при решении уравнений. Поговорим о том, что такое формула, откуда они берутся и выделим основные формулы математики.
Посмотрим на примере. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2=a^2+2*ab+b^2$.
Имеется следующее выражение: $(2a+7b)^2=(2a)^2+2*(2a)*(7b)+(7b)^2=4a^2+28ab+49b^2$ – вот мы и раскрыли скобки по формуле квадрата суммы. Если нам потребуется конечное выражение превратить в начальное, то это будет уже обратное действие формулы.
Основные формулы математики
Основными формулами математики считаются формулы быстрого умножения. Их не так много, поэтому лучше все заучить наизусть. Всего формул семь, каждая из них была выведена, для облегчения счета. Заучивают формулы в 4 этапа.
- Первыми идут формулы суммы и разности квадратов. Формулу суммы мы уже знаем.
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
Квадрат разности не сильно отличается.
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
Знак минуса вполне логичен, и его достаточно просто запомнить.
- Следующими запоминают куб суммы и куб разности. Они учатся быстрее, просто запоминаясь по аналогии.
$$(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3a*b^2+b^3$$
$$(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3a*b^2-b^3$$
- Дальше идут формулы суммы и разности кубов, а так же разность квадратов. Разность квадратов записывается достаточно легко.
$a^2+b^2=(a+b)(a-b)$ – а вот формулы суммы квадратов нет. В начале курса 5 класса по математике ученики очень часто путаются формулы квадрата разности и разности квадратов. Попробуем научиться их различать.
Что такое разность квадратов? Это два числа в квадрате, из одного вычитается другое. А что такое квадрат разности? Из одного числа вычли другое, а результат возвели в квадрат. Достаточно один раз запомнить, а лучше понять, это объяснение и проблем с этими двумя формулами не будет никогда.
- Следующими и последними идут формулы суммы и разности кубов. Они немного сложнее и для облегчения их запоминания придумали понятие неполного квадрата суммы и неполного квадрата разности.
Вспомним формулу квадрата суммы.
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
Обратим внимание на вторую часть.
$$a^2+2ab+b^2$$ – это и называется полным квадратом суммы. А неполным называется выражение:
$$a^2+ab+b^2$$. Это легко запомнить. По аналогии неполный квадрат разности: $a^2-ab+b^2$.
Теперь приведем формулы суммы и разности кубов.
$$a^3+b^3=(a+b)( a^2-ab+b^2)$$ – сумма кубов это произведение суммы чисел на неполный квадрат разности этих чисел.
$$a^3+b^3=(a-b)( a^2+ab+b^2)$$ – разность кубов это произведение разности чисел на квадрат суммы этих чисел.
Как показывает практика, последние две формулы проще запомнить в словесной форме. К тому же эти формулы часто встречаются при решении простых уравнений. Поэтому, дабы не бежать каждый раз в интернет – проще их запомнить.
Что мы узнали?
Мы дали определение понятию формулы, привели основные формулы математики и обозначили, что формулой можно пользоваться в обе стороны от знака равенства.
