Тупоугольный треугольник мало чем отличается от обычных произвольных остроугольных треугольников, но тупой угол делает треугольник непривычным для восприятия. Это зачастую приводит в недоумение, поэтому стоит рассмотреть различные варианты решения задач на нахождение параметров тупоугольного треугольника.
Только в тупоугольном треугольнике высота может лежать за пределами треугольника.
Рассмотрим несколько интересных задач на нахождение данных в тупоугольном треугольнике.
Пример решения задачи
Для решения любой задачи можно найти несколько способов. В данной ситуации можно пойти через площадь треугольников, достроить тупоугольный треугольник до прямоугольного или воспользоваться теоремой косинусов. Каждый из способов дает представление о том, как можно решать задачи с тупоугольным треугольником. Воспользуемся каждым из них.
Ответ в каждом случае должен быть одинаков. Но если округлять неточные ответы, то в одной задаче при одинаковых решениях можно получить разные величины. Будьте внимательны, результат не должен отличаться больше, чем на 1.
- Через площадь треугольников. Площадь можно найти как половину произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. А можно – как половину произведения двух сторон на синус угла между ними. Нам известен косинус угла, а через косинус всегда можно найти синус.
$$sin(ABC)=sqrt{1-cos^2(ABC)}=sqrt{13-4 over13}=sqrt{9 over13}={3oversqrt{13}}$$
Теперь запишем две формулы площади, выразим через них высоту и найдем ее значение.
$$S={1over2}*AM*BC$$
$$S={1over2}*AB*BC sin(ABC)$$
$${1over2}*AM*BC={1over2}*AB*BC*sin(ABC)$$
$$AM*ВС=AB*BC*sin(ABC)$$
$$AM=AB*sin(ABC)$$
$$AM=sqrt{13}*{3 over sqrt{13}}=3$$
- Второй способ – это достроить тупоугольный треугольник до прямоугольного. Если присмотреться, то можно заметить на чертеже два прямоугольных треугольника – это треугольники АМС и АМВ. В треугольнике АМВ можно найти косинус угла АВМ с помощью формул-приведений. Затем, через значение косинуса найти значение синуса того же угла. А синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Противолежащей катет – это искомая нами высота, а гипотенуза – это сторона АВ прямоугольного треугольника.
$$cos(ABM)=cos(180-ABC)=-cos(ABC)$$
$$cos(ABM)=-cos(ABC)={2over sqrt{13}}$$
Тогда синус, как и в первом способе, выразим через основное тригонометрическое тождество.
$$Sin(ABM)=sqrt{1-cos(ABM)^2}=sqrt{13-4over13}=sqrt{9over13}={3oversqrt{13}}$$
$$Sin(ABM)=AM/AB$$
$$AM=AB*sin(ABM)=sqrt{13}*{3oversqrt{13}}=3$$
- Третий метод – это теорема синусов и косинусов. Для того, чтобы воспользоваться этим способом, через теорему косинусов найдем значение АС, потом через теорему синусов найдем синус угла АСВ и определим АМ из синуса угла АСВ большого прямоугольного треугольника АМС.
$$АС=sqrt{AB^2+BC^2-2AB*BC*cos(ABC)}=$$
$$sqrt {sqrt{13}^2+2^2-2*sqrt{13}*{-2oversqrt{13}}}=$$
$$sqrt{13+4+8}=sqrt{25}=5$$ – по теореме косинусов.
$${АСover{sin(ABC)}}={ABover{sin(ACB)}}$$ – по теореме синусов.
Значение синуса угла АВС определим по основному тригонометрическому тождеству.
$$ Sin(ABC)=sqrt{1-cos^2(ABC)}=sqrt{13-{4over{4}}}=sqrt{9over{13}}={3oversqrt{13}}$$
Выразим искомый синус угла АСВ.
$$Sin(ACB)=AB*{sin(ABC)over{AC}}$$
$$Sin(ACB)=(sqrt{13}*{{3oversqrt{13}}over{5}})={3over5}$$
Выразим из треугольника АМС и найденного значения синуса сторону АМ.
$$Sin(ACB)={AMover AC}$$
$$AM=sin(ACB)*AC$$
$$AM={3over5}*{5}=3$$
Ответы всех трех способов совпали, а, значит, задача решена верно.
Что мы узнали?
Мы поговорили об определении тупоугольного треугольника. Узнали и посмотрели на практике, какие методы решения тупоугольных треугольников существуют, а также выяснили ,какие формулы и теоремы необходимо знать для успешного решения тупоугольного треугольника.
