Площадь прямоугольного треугольника можно найти несколькими способами. Прямой угол в составе любой фигуры добавляет ей свойств и это можно использовать для правильного и быстрого решения задач.
В прямоугольном треугольнике две из трех высот совпадают со сторонами – катетами. По этой же причине точка пересечения высот прямоугольного треугольника совпадает с вершиной при прямом угле.
Эта же точка будет центром описанной окружности.
Площадь треугольника
Площадь треугольника обычно находится по стандартной формуле, как половина произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.
$$S={1over2}*a*h$$
Можно найти площадь как половину произведения сторон на синус угла между ними:
$$S={1over2}*a*b*sin(g)$$
Существуют усложненные формулы нахождения площади, но они используются крайне редко.
Площадь прямоугольного треугольника
Площадь прямоугольного треугольника находится по тем же формулам, но в некоторых случаях эти формулы можно упростить.
Например, можно воспользоваться тем, что высоты в прямоугольном треугольнике совпадают с катетами. Тогда стандартная формула превратится в следующую:
$S={1over2}*a*b$, где а и b это катеты прямоугольного треугольника.
Это одна из самых простых формул площади прямоугольного треугольника. Попробуем преобразовать вторую формулу.
$$S={1over2}*a*b*sin(g)$$
Если вспомнить, что синус угла это отношение противолежащего катета к гипотенузе. В нашем случае, противолежащий катет обозначим за букву f, потому как а это прилежащий катет, а острый угол может быть заключен только между катетом и гипотенузой. Значит b это гипотенуза.
$S={1over2}*a*b*sin(g)= {1over2}*a*b*{fover{b}}={1over2}a*f$ – получается все та же формула.
Значит, первый вывод мы осуществили правильно, а у прямоугольного треугольника есть только одна специальная формула для нахождения площади. Если она не подойдет можно воспользоваться общими формулами. Это и есть два возможных пути расчета площади.
Например, если по условию задачи известна гипотенуза, то можно попробовать найти высоту, падающую на гипотенузу и определить площадь по общей формуле. По тому же принципу можно найти площадь через синус, если известны гипотенузы и катет.
Главное помнить, что у любой задачи всегда есть 3 решения и решать каждую наиболее удобным способом.
Что мы узнали?
Мы поговорили о прямоугольных треугольниках и вывели формулу площади прямоугольного треугольника через катеты. Обсудили общие формулы площади треугольников и сказали, что каждая из этих формул подойдет для решения прямоугольного треугольника.
