Параллельность – очень полезное свойство в геометрии. В реальной жизни параллельные стороны позволяют создавать красивые, симметричные вещи, приятные любому глазу, поэтому геометрия всегда нуждалась в способах эту параллельность проверить. О признаках параллельности прямых мы и поговорим в этой статье.
Секущей прямой называется прямая, которая пересекает обе параллельные прямые. В этом случае образуются накрест лежащие, соответственные и односторонние углы. Накрест лежащими будут пары углов 1 и 4; 2 и 3; 8 и 6; 7 и 5. Соответственными будут 7 и 2; 1 и 6; 8 и 4; 3 и 5. Односторонними 1 и 2; 7 и 6; 8 и 5; 3 и 4.
При правильном оформлении пишется: «Накрест лежащие углы при двух параллельных прямых а и b и секущей с», потому что для двух параллельных прямых может существовать бесконечное множество секущих, поэтому необходимо указывать, какую именно секущую, вы имеете в виду.
Также для доказательства понадобится теорема о внешнем угле треугольника, которая гласит, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.
Признаки
Все признаки параллельности прямых завязаны на знание свойств углов и теоремы о внешнем угле треугольника.
Признак 1
Две прямые параллельны, если накрест лежащие углы равны.
Рассмотрим две прямые а и b с секущей с. Накрест лежащие углы 1 и 4 равны. Предположим, что прямые не параллельны. Значит прямые пересекаются и должна быть точка пересечения М. Тогда образуется треугольник АВМ с внешним углом 1. Внешний угол при вершине В должен быть равен сумме углов 4 и АМВ, как несмежных с ним, по теореме о внешнем угле в треугольнике. Но тогда получится, что угол 1 больше угла 4, а это противоречит условию задачи, значит, точки М не существует, прямые не пересекаются, то есть параллельны.
Признак 2
Две прямые параллельны, если соответственные углы при секущей равны.
Рассмотрим две прямые а и b с секущей с. Соответственные углы 7 и 2 равны. Обратим внимание на угол 3. Он является вертикальным для угла 7. Значит, углы 7 и 3 равны. Значит, углы 3 и 2 также равны, так как <7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.
Признак 3
Две прямые параллельны, если сумма односторонних углов равна 180 градусам.
Рассмотрим две прямые а и b с секущей с. Сумма односторонних углов 1 и 2 равна 180 градусов. Обратим внимание на углы 1 и 7. Они являются смежными. То есть:
$$<1+<7=180$$
$$<1+<2=180$$
Вычтем из первого выражения второе:
$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$
$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$
$$<1+<7-<1-<2=0$$
$$<7-<2=0$$
$<7=<2$ – а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.
Что мы узнали?
Мы в подробностях разобрали, какие углы получаются при пересечении параллельных прямых третьей прямой, выделили и подробно расписали доказательство трех признаков параллельности прямых.
