Правильный треугольник имеет много специфических свойств, которые значительно упрощают решение задач. Поэтому имеет смысл поговорить о каждом из этих свойств, дабы облегчить решение задач.
Площадь
Начнем с формулы площади.
Равносторонний треугольник любой высотой делится на два, равных между собой прямоугольных треугольника. Теперь найдем значение высоты, подставим его в классическую формулу площади треугольника и получим формулу для нахождения площади правильного треугольника.
В прямоугольном треугольнике АВМ катет ВМ можно выразить через синус угла ВАМ. Этот угол известен и равен 60 градусам, значит, известны и значения синуса и косинуса для этого угла. Катет ВМ противолежащий, значит, для его нахождения необходимо воспользоваться формулой синуса.
$$Sin(ВАM)={ВMover AB}$$
С другой стороны синус 60 градусов заранее известнее и равен $sqrt{3} over 2$ . Значит можно выразить значение АМ:
$$ВМ=АВ*sin(ВАM)=AB* {sqrt{3}over 2}$$
Все стороны треугольника между собой равны, поэтому для удобства обозначим их через букву а.
AB=AC=BC=a
Тогда формула будет выглядеть следующим образом:
$$ВМ=а*{sqrt{3}over2}$$
Теперь вспомним классическую формулу площади треугольника:
$S= {1over2}h*a$, где а это основание треугольника, h – высота, проведенная к этому основанию. В заданном треугольнике это будет выглядеть следующим образом:
$$S={1over2}*АC*ВM={1over2}*a*a*{sqrt{3}over2}=a^2*{sqrt{3}over4}$$
Получившаяся формула гораздо проще классических в плане количества необходимых параметров. Для нахождения площади правильного треугольника необходимо знать только значение одной из его сторон. Это возможно за счет равенства углов в таком треугольнике.
Только в правильном треугольнике возможно нахождение площади через значение одной стороны.
Периметр
Периметр найти ещё проще, так как это сумма всех сторон треугольника, а они все равны между собой, то:
Р=3а
Подобный подход, где приравниваются стороны или используются свойства медиан и биссектрис равностороннего треугольника, часто используется при решении подобных задач. У правильного треугольника нет и не может объема, так как это плоская фигура. У нее два характеризующих понятия: площадь и периметр.
В равностороннем треугольнике каждая биссектриса совпадает с медианой и высотой. Также совпадают и точки пересечения этих отрезков. Получившаяся точка зовется центром фигуры.
Что мы узнали?
Из статьи мы узнали, что у правильного треугольника все стороны и углы равны между собой. Мы узнали о свойствах биссектрисы, медианы и высоты – в правильном треугольнике это будет одна и та же линия. Ее можно проводить от любой вершины.
