В Природе существует огромное множество различных колебаний. Все их можно описать с помощью сумм простейших колебаний, называемых гармоническими. Выведем уравнение гармонических колебаний.
Из анализа данных условий можно составить уравнение, описывающее процессы, проходящие в системе.
Если сила стремится вернуть систему в положение равновесия, значит, эта сила пропорциональна (через коэффициент пропорциональности $k$) отклонению системы от этого положения. Направлена она против отклонения, значит, имеет противоположный знак. То есть, для механического случая:
$$F=-kx$$
Из механики известно, что ускорение движения материальной точки пропорционально силе, воздействующей на материальную точку. Следовательно:
$$a=-kx$$
Ускорение – это производная скорости. А скорость – производная расстояния. То есть, вторая производная расстояния должна быть пропорциональна самому расстоянию, взятому со знаком «минус». Получаем:
$$x”=-kx$$
Это дифференциальное уравнение, описывающее колебательный процесс.
Уравнение колебаний
Полученное дифференциальное уравнение решается в высшей математике. Его единственным решением является круговая функция (синус или косинус).
$$x(t)=A sin(sqrt kt+varphi)$$
Проверим, так ли это ?
Для нахождения скорости надо взять производную. Получим:
$$v(t)=Asqrt k cos(sqrt kt+varphi)$$
А если взять вторую производную, получим ускорение:
$$a(t)=-Ak sin(sqrt kt+varphi) = -kx(t)$$
В итоге мы видим, что формула ускорения оказалось равной первоначальной функции расстояния, взятой с противоположным знаком, и умноженным на коэффициент $k$. То есть, можно сделать вывод, что исходное дифференциальное уравнение решено правильно.
Гармонические колебания
Колебания, совершающиеся по закону круговых функций, впервые привлекли внимание еще в античности, при изучении закономерностей музыкальной гармонии. И поэтому такие колебания и функции называются гармоническими.
Позже понятие гармонических функций было расширено высшей математикой, а также было доказано, что любые колебания можно представить в виде бесконечной суммы гармонических функций.
Поскольку гармонические функции легко поддаются математическому описанию и различным математическим преобразованиям, представление процессов в виде бесконечных сумм таких функций очень широко используется в науке, и называется спектральным анализом. Сложные функции разлагаются на простые гармонические компоненты подобно тому, как белый свет разлагается на радугу цветов в спектре.
Что мы узнали?
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний связывает ускорение (вторую производную расстояния) с самим расстоянием через коэффициент пропорциональности $k$, взятым со знаком минус. Решением этого уравнения является круговая (гармоническая) функция – синус или косинус.
