В Природе очень широко распространены колебательные процессы. Простейшей системой, на которой можно изучать колебания, является маятник. Получим формулу периода колебаний математического маятника.
Для того, чтобы обычный нитяной маятник хорошо описывался формулами математического маятника, необходимо, чтобы его груз имел малый размер, нить была бы нерастяжимой, и максимальное отклонение маятника было бы намного меньше (более, чем в 10 раз) его длины.
Формула периода колебаний
Для определения формулы периода колебаний математического маятника учтем, что колебания совершаются по некоторой дуге. Радиус этой дуги равен длине нити $l$, угол, на который происходит отклонение, обозначим $α$. Мгновенная скорость материальной точки всегда направлена по касательной к траектории, а значит, для математического маятника мгновенная скорость направлена по касательной к этой дуге. Проекция силы тяжести на нее будет равна:
$$F=-mgsinalpha$$
Ускорение движения материальной точки находится по второму закону Ньютона. После проецирования получаем:
$$a_т={Fover m}$$
После подстановки можно сократить массу, получаем:
$$a_т=-gsinalpha$$
Для малых углов дуги $sinalpha=alpha$ и $s=alpha l$, поэтому:
$$a_т=-{gover {l}}s$$
Ускорение – это вторая производная перемещения. Единственная функция, производная которой пропорциональна самой себе со знаком минус – это круговая функция (синусоида). То есть, решение полученного уравнения:
$$s(t)=S_{max} cos sqrt{gover l}t$$
Периодом этой функции (а, значит, и периодом колебаний математического маятника) будет величина:
$$T=2pisqrt {lover g}$$
Данная формула была установлена Х. Гюйгенсом.
Отметим, что формула периода колебаний математического маятника очень похожа на формулу колебаний пружинного маятника. Ускорение свободного падения в математическом маятнике соответствует жесткости пружины в пружинном маятнике. Длина маятника соответствует массе груза. Это объясняется тем, что в обоих случаях причиной колебаний является сила, зависящая от отклонения, направленная против него.
Что мы узнали?
Математический маятник является идеализированной моделью обычного нитяного маятника. Он совершает колебания под действием силы тяжести, проекция которой на вектор мгновенной скорости пропорциональна отклонению. Это обеспечивает возможность свободных колебаний.
