Простейшей системой, пригодной для изучения свободных колебаний, является обыкновенный нитяной маятник – груз, подвешенный на нитке. Рассмотрим колебания такого маятника.
Период колебаний математического маятника
Выведем формулу периода колебаний нитяного маятника взяв за идеальную модель математический маятник.
Если масса маятника длиной $l$ описывает колебания по дуге с углом отклонения $α$, то проекция силы тяжести на касательную к траектории (именно по этой касательной направлена мгновенная скорость маятника) равна:
$$F=-mgsinalpha$$
По второму закону Ньютона проекция ускорения на касательную к траектории маятника :
$$a_т={Fover m}$$
Подставив эту формулу в предыдущую, и сократив массу, получаем:
$$a_т=-gsinalpha$$
Учитывая, что для малых углов $sinalpha=alpha$ и отклонение маятника $s=alpha l$, можно записать:
$$a_т=-{gover {l}}s$$
Ускорение – это вторая производная перемещения. В вышей математике доказывается, что единственная функция, вторая производная которой пропорциональна самой себе со знаком минус – это круговая функция. Решением данного уравнения является функция:
$$s(t)=S_{max} cos sqrt{gover l}t$$
Периодом этой функции будет величина:
$$T=2pisqrt {lover g}$$
Данная формула была установлена Х. Гюйгенсом.
Если обратиться к формулам движения и периода колебаний пружинного маятника, можно видеть, что эти формулы почти одинаковы. Жесткости пружины в пружинном маятнике соответствует ускорение свободного падения в математическом маятнике. Длине математического маятника соответствует масса груза в пружинном маятнике. Это говорит о том, что в обоих случаях колебательные процессы имеют один и тот же механизм возникновения – сила, двигающая груз, зависит от отклонения, и направлена всегда против этого отклонения.
Маятник и ускорение свободного падения
Поскольку в формулу периода нитяного маятника входит ускорение свободного падения, эта деталь позволяет использовать колебания маятника для его изменения. При этом необходимо учитывать ограничения, которые приближают реальный маятник к математическому – нить должна быть нерастяжимой, груз иметь малый размер, а максимальное отклонение от вертикали намного меньше длины маятника.
Маятник позволяет обнаруживать даже совсем небольшие изменения ускорения свободного падения. Это позволяло использовать его для уточнения залегания железных руд, которые обладают заметно большей плотностью, по сравнению с обычным грунтом.
Что мы узнали?
Идеальной моделью нитяного маятника является математический маятник. Формула периода свободных колебаний нитяного маятника аналогична формуле периода колебаний пружинного маятника, жесткости пружины соответствует ускорение свободного падения, длине – соответствует масса груза.
