Равносторонний треугольник определяется всего одной величиной – значением стороны. Все стороны в таком треугольнике равны между собой, а углы известны заранее и равны 60 градусам каждый, поэтому чтобы посчитать любую характеристику или величину равностороннего треугольника достаточно знать его сторону. Убедимся в этом и выведем формулу высоты равностороннего треугольника.
Формула
Формулу высоты равностороннего треугольника выведем тремя способами: через теорему Пифагора, с помощью формулы площади прямоугольного треугольника и через тригонометрическую функцию. Три способа используем, чтобы показать несколько вариантов доказательства и иметь возможность максимально быстро найти значение высоты при любом условии задачи.
Сначала выведем формулу через площадь.
В классической формуле, подходящей для любого треугольника, площадь равна половине произведения основания на высоту. Существует также формула площади для правильного треугольника: $S=sqrt{3}*{a^2over4}$
Приравняем две формулы и выведем формулу высоты.
$$S=sqrt{3}*{a^2over4}$$
$$S={1over2}*a*h$$
${1over2}*a*h=sqrt{3}*{a^2over4} $ – сократим обе части на а.
${1over2}*h=sqrt{3}*{aover4} $ – умножим на 2.
$H=sqrt{3}*{aover2}$ – и получим формулу высоты равностороннего треугольника.
С другой стороны, в равностороннем треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и высотой. То есть, высоту можно найти как катет прямоугольного треугольника через теорему Пифагора.
$$h=sqrt{a^2-{aover2}^2}=sqrt{a^2-{a^2over4}}$$
Если в том же малом прямоугольном треугольнике обратить внимание на известный острый угол, то можно вывести значение высоты через синус угла в 60 градусов.
Синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Воспользуемся этим отношением и выразим высоту.
$$sin(60)={hover {a}}$$
$h=a*sin(60)={a*sqrt{3}over{2}}$ – как видно, получился тот же результат, что и в первом способе. Это говорит о том, что в равностороннем треугольнике только две формулы высоты, а все остальные способы доказательства можно свести к получившимся выводам.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое равносторонний треугольник, вывели несколько формул для нахождения высоты равностороннего треугольника. Показали несколько путей вывода формул, которые могут помочь быстро вспомнить, как находится высота или использовать те же приемы для нахождения других величин в равностороннем треугольнике.
