Математическая логика занимается изучением логических законов, применяемых в теории множеств. Основы алгебры логики рассматриваются в курсе информатики 8 класса. Над множествами можно выполнять различные действия, одним из которых является пересечение.
Множества могут быть конечными и бесконечными. Количество учеников в классе — это конечное множество, можно четко назвать конкретное число учеников. Количество целых положительных чисел — бесконечное множество оно может быть бесконечно большим.
В математике множество обозначают прописными латинскими буквами.
Например, множество А={1,5,12,6,7} и множество В={2,4,12,3,7} конечные множества целых положительных чисел
С множествами можно выполнять различные действия. Одним из таких действий является пересечение множеств чисел.
Пересечение множеств чисел
С точки зрения математики, пересечением двух множеств Х и Y является третье множество Z, в состав которого входят элементы, как первого, так и второго множеств. Приведем примеры пересечения множеств чисел.
Для множеств чисел Х={1, 2,4,5,6,8} и Y={2,3,4,6,7,9} пересечением будет третье множество Z={2, 4, 6}.
В качестве элементов множеств могут выступать не только числа.
Для множеств А={А, Б, В, Г, Д, Е} и B={Г, Д, Е, Ё, Ж} пересечением будет третье множество, элементы которого — буквы, одинаковые в исходных множествах C={Г, Д, Е}.
Обозначение пересечения
Операцию пересечения называют и обозначают по-разному, но суть от этого не меняется. В теории множеств для обозначения пересечения используется знак ∩, а формула выглядит так: А ∩ B = C
Пересечение также называют произведением множеств, и для обозначения операции используют знак умножения: А ∙ В = С
В математической логике, работающей с высказываниями, используют понятие «конъюнкция». Для ее обозначения используют символ &: А & В = С. Допустимо конъюнкцию обозначать буквой И: А И В = С.
Визуальное представление пересечения
Для визуального отображения действий с множествами используют диаграммы Эйлера, которые представляют собой две окружности, частично наложенные друг на друга. Окружности — это множества. Закрашенная область, принадлежащая одновременно каждой окружности, образованная путем наложения — это область пересечения.
Круги Эйлера представляют собой простой инструмент, который доходчиво объясняет суть основ теории множеств. Широко известен цикл работ Леонарда Эйлера под названием «Письма к немецкой принцессе о разных физических и философских материях», написанный для дочерей маркграфа Бранденбург-Шведт. В письмах 102 – 104 второго тома этого произведения использован данный графический метод.
Определение результатов операций над множествами с использованием кругов Эйлера значительно облегчает решение логических задач.
Таблица истинности
В алгебре логики объектом, к которому применяются логические операции, является высказывание. Оно представляет собой некоторое повествовательное предложение, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное. Если высказывание истинно, то его обозначают единицей, если ложно — то это ноль.
Например, высказывание «Москва — столица РФ» истинное высказывание. «Площадь квадрата определяется как сумма его сторон» — это ложное высказывание.
Высказывание не может быть вопросительным или побудительным предложением, числовые выражения, которые не содержат логических операций, или содержащие переменные, также не являются высказываниями.
Для обозначения всех возможных вариантов высказываний используются таблицы истинности.
По таблице видно, что в результате операции конъюнкции (пересечения) истинное выражение (равно 1) тогда и только тогда, когда оба исходные выражения истинны. Во всех других случаях результат равен нулю (ложь).
Что мы узнали?
Пересечение двух множеств представляет собой третье множество, содержащее элементы общие для исходных множеств. Операцию пересечения можно обозначать по-разному. Пересечение также называется произведением множеств и конъюнкцией. Визуально пересечение удобно представлять с помощью диаграмм Эйлера. Для отображения всех вариантов высказываний используют таблицы истинности. Для пересечения результат принимает значение истина только в случае, когда истинны оба операнда.
