Прямоугольный треугольник отличается от произвольных целым рядом параметров. Это и значение сторон, которое можно рассчитать по теореме Пифагора; возможность напрямую использовать тригонометрические функции и несколько специфичных формул, предназначенных для расчета площади именно прямоугольных треугольников. Именно об этих формулах и пойдет речь в данной статье.
Именно из этих особенностей и вытекает формула площади прямого треугольника.
$S= {1over2}a*b$ где a и b это катеты треугольника. То есть значение двух сторон просто подставили в классическую формулу. В итоге получается самая простая из возможных формул для нахождения площади прямоугольного треугольника. Рассмотрим несколько неклассических ситуаций, когда значение катетов неизвестно.
Если в задаче о прямоугольном треугольнике дается значение высоты, то имеется в виду перпендикуляр, проведенный к гипотенузе.
Задача
- В прямоугольном треугольнике высота равняется 8, а острый угол при гипотенузе 60 градусов. Найти площадь прямого треугольника.
Для каждой геометрической задачи существует, как минимум 3 решения.
Конкретно в нашем случае можно выделить два простых способа:
- Найти гипотенузу и определить значение площади по классической формуле.
- Найти каждый из катетов и найти площадь через катеты.
Рассмотрим каждый из вариантов, чтобы иметь представление о возможных путях решения подобных задач.
Обозначим треугольник АВС, проведем высоту ВН. Угол АСВ равен 60 градусов. Найдем гипотенузу. Она состоит из двух отрезков АН и НС. Найдем каждый из отрезков, сложим их и получим искомое значение.
АН найдем из прямоугольного треугольника АНВ с прямым углом у вершины Н. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна 90 градусам. Значит Угол ВАС=90-60=30.
Воспользуемся тригонометрической функцией. Воспользуемся значением тангенса:
$$tg(BAC)= {BHover AH}=sqrt{3}$$ – значение тангенса можно взять из таблицы Брадиса или запомнить его для трех характерных углов 30, 45 и 60 градусов.
$$АН={ВНoversqrt{3}}= {8oversqrt{3}}=4,62$$
Получившийся результат мы округлим до сотых. Не стоит бояться получившихся длинных дробных значений. В вычислениях они встречаются постоянно, нужно просто правильно округлять полученные значения.
По схожей схеме вычислим НС из прямоугольного треугольника ВНС.
$$tg(НСВ)={ВН over НС}={1 over sqrt{3}}$$
$$HC={BHover tg(HCB)}={BHover{1oversqrt{3}}}=BH*sqrt{3}=8*sqrt{3}=13,87$$
Значение снова округлим до сотых. Два получившихся значения сложим и посчитаем значение площади.
АС=АН+НС=4,62+13,87=18,49
$$S={1over2}*BH*AC={1over2}*8*18,49=73,96$$
Приведем решение через катеты и сравним результаты.
В прямоугольном треугольнике ВНС сторона ВС выступает гипотенузой. Воспользуемся значением синуса:
$$sin(ACB)={BHover BC}={sqrt{3}over2}$$
Значение синуса для угла в 60 градусов является табличным значением.
$$BC=BH/sin(ACB)=8/(sqrt{3}/2)=16/sqrt{3}=9,23$$
Подобным методом определим значение второго катета из треугольника АНВ:
$$sin(BAH)=BH/AB=1/2$$
$$AB=BH/(1/2)=BH*2=16$$
Оба катета найдены, можно подсчитать значение площади:
$$S=1/2*AB*BC=1/2*16*9,23=73,84$$
Получившиеся значения схожи. Различие в сотых легко объясняется округлениями, которые выполнялись для удобства расчета. В подобных вычислениях расхождение в единицу считается допустимым.
Что мы узнали?
Мы досконально разобрали формулу нахождения площади прямоугольного треугольника. Показали другие варианты нахождения площади, подробно разобрали различные пути решения задач на нахождение площади прямоугольного треугольника.
