Законы Ньютона – математическая абстракция. В реальности причиной движения или покоя тел, а также их деформации, выступают сразу несколько сил. Поэтому важным дополнениям к законам механики будет введение понятия равнодействующей силы и его применение.
Сила – это векторная величина, то есть, ее действие – направленное. Модуль силы в общем случае пропорционален некоему коэффициенту (для деформации пружины – это ее жесткость), а также параметрам действия (масса, заряд). Например, в случае кулоновской силы – это величина обоих зарядов, взятых по модулю, квадрат расстояние между зарядами и коэффициент k, в системе СИ определяемый выражением: $k = {1 over 4 pi epsilon}$, где $epsilon$ – диэлектрическая постоянная.
Сложение сил
В случае, когда на тело действует n сил, говорят о равнодействующей силе, а формула второго закона Ньютона принимает вид:
$mvec a = sumlimits_{i=1}^n vec F_i$
Поскольку F – векторная величина, сумма сил называется геометрической (или векторной). Такое сложение выполняется по правилу треугольника или параллелограмма, либо по компонентам. Поясним каждый метод на примере. Для этого запишем формулу равнодействующей силы в общем виде:
$F = sumlimits_{i=1}^n vec F_i$
А силу $F_i$ представим в виде:
$F = (F_{xi}, F_{yi}, F_{zi})$
Тогда суммой двух сил будет новый вектор $F_{ab} = (F_{xb} + F_{xa}, F_{yb} + F_{ya}, F_{zb} + F_{za})$.
Абсолютное значение равнодействующей можно рассчитать так:
$F = sqrt{(F_{xb} + F_{xa})^2 + (F_{yb} + F_{ya})^2 + (F_{zb} + F_{za})^2}$
Теперь дадим строгое определение: равнодействующая сила есть векторная сумма всех сил, оказывающих влияние на тело.
Разберем правила треугольника и параллелограмма. Графически это выглядит так:
Внешне они кажутся различными, но когда доходит до вычислений, сводятся к нахождению третьей стороны треугольника (или, что тоже самое, диагонали параллелограмма) по теореме косинусов.
Если сил больше двух, иногда удобней пользоваться правилом многоугольника. По своей сути – это всё тот же треугольник, только повторенный на одном рисунке некоторое количество раз. В случае, если по итогу контур получился замкнутым, общее действие сил равно нулю и тело покоится.
Задачи
- На ящик, размещенный в центре декартовой прямоугольной системы координат, действуют две силы: $F_1 = (5, 0)$ и $F_2 = (3, 3)$. Рассчитать равнодействующую двумя методами: по правилу треугольника и при помощи покомпонентного сложения векторов.
Решение
Равнодействующей силой будет векторная сумма $F_1$ и $F_2$.
Поэтому запишем:
$vec F = vec F_1 + vec F_2 = (5+3, 0+3) = (8, 3)$
Абсолютное значение равнодействующей силы:
$F = sqrt{8^2 + 3^2} = sqrt{64 + 9} = 8,5 Н$
Теперь получим тоже значение при помощи правила треугольника. Для этого сначала найдем абсолютные значения $F_1$ и $F_2$, а также угол между ними.
$F_1 = sqrt{5^2 + 0^2} = 5 Н$
$F_2 = sqrt{3^2 + 3^2} = 4,2 Н$
Угол между ними – 45˚, так как первая сила параллельна оси Оx, а вторая делит первую координатную плоскость пополам, то есть является биссектрисой прямоугольного угла.
Теперь, разместив вектора по правилу треугольника, рассчитаем по теореме косинусов равнодействующую:
$F = sqrt{F_1^2 + F_2^2 – 2F_1F_2 cos135} = sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 sin45} = sqrt{25 + 18 + 2 cdot 5 cdot 4,2 cdot sin45} = 8,5 Н$
- На машину действуют три силы: $F_1 = (-5, 0)$, $F_2 = (-2, 0)$, $F_1 = (7,0)$. Какова их равнодействующая?
Решение
Достаточно сложить иксовые компоненты векторов:
$F = -5 – 2 + 7 = 0$
Что мы узнали?
В ходе урока было введено понятие равнодействующей сил и рассмотрены различные методы ее расчета, а также введена запись второго закона Ньютона для общего случая, когда количество сил неограниченно.
