Энергия – это способность к совершению работы. Поскольку существует много способов совершения работы, существуют разные виды энергии. Рассмотрим один из таких видов – кинетическую энергию вращательного движения.
Формула кинетической энергии при вращении
Кинетической называют энергию движения.
Найдем кинетическую энергию вращающейся материальной точки.
Пусть изначально материальная точка с моментом инерции $J = mR^2$ вращается по траектории радиусом $R$ c угловой скоростью $omega$. Начнем равномерно тормозить вращение, чтобы до полной остановки точка повернулась на угол $alpha$.
При равномерном торможении сила торможения $F$ и момент этой силы $M=FR$ будут постоянными. А значит, согласно Второму Закону Ньютона, угловое ускорение, получаемое материальной точкой, тоже будет постоянным, и равным:
$$varepsilon = {M over J}$$
Для равноускоренного вращения угол поворота и угловая скорость и угловое ускорение связаны соотношением:
$$alpha ={omega_2^2-omega_1^2over 2varepsilon}$$
Учитывая полную остановку вращения, и формулу ускорения, получаем:
$$alpha ={omega^2over 2varepsilon}={omega^2 J over 2M}$$
Во время поворота на этот угол на тело постоянно действовал момент силы торможения $M$, а значит была совершена работа:
$$A = alpha M={omega^2 J over 2}$$
Поскольку материальная точка остановилась – то вся первоначальная кинетическая энергия $E_k$ была направлена на совершение работы, и, таким образом, эта энергия равна совершенной работе.
В итоге мы получили формулу полной кинетической энергий вращательного движения материальной точки:
$$E_k ={omega^2 J over 2}={omega^2 mR^2over 2}$$
Особенности кинетической энергии при вращении
Сравним формулу кинетической энергии при вращении с формулой кинетической энергии тела для прямолинейного движения:
$$E_k ={v^2 m over 2}$$
Можно видеть их близость. Но, в формуле для вращения для материальной точки присутствует дополнительный множитель – радиус. Его необходимость объясняется тем, что при повороте на один и тот же угол, материальная точка, расположенная на более далеком расстоянии от центра вращения, проходит больший путь, по сравнению с более близкой точкой. Поэтому и ее мгновенная линейная скорость, а значит, и кинетическая энергия получается больше. Для твердых тел различной формы радиус вращения также учитывается при определении момента инерции.
В том, что у материальной точки с большим радиусом вращения кинетическая энергия больше, легко убедиться, раскручивая груз на шнуре. Если раскручивать груз с постоянной частотой (скажем, один оборот в секунду), то при малой длине шнура это сделать легко, однако, чем длиннее шнур, тем приходится прилагать больше усилий, хотя масса шнура остается постоянной.
Именно поэтому с помощью пращи камень можно метнуть дальше, чем просто рукой. Больший радиус вращения позволяет сообщить камню большую энергию.
Что мы узнали?
Формула кинетической энергии вращающейся материальной точки аналогична формуле кинетической энергии поступательного движения материальной точки. Вместо линейной скорости используется угловая скорость, а вместо массы – момент инерции. Поскольку момент инерции материальной точки зависит от радиуса вращения, кинетическая энергия вращения материальной точки зависит не только от угловой скорости, но и от радиуса вращения.
