Важнейшим кинематическим параметром неравномерного движения является ускорение. Если движение материальной точки происходит по окружности, то в этом движении всегда есть ускорение, называемое центростремительным. Получим формулу центростремительного ускорения.
Ускорение при движении по окружности
Подчеркнем: ускорение характеризует любое изменение вектора скорости, не только по модулю, но и по направлению.
Даже при движении с постоянным модулем скорости, если направление вектора скорости меняется, ускорение в таком движении не равно нулю. Следовательно, криволинейное движение (даже равномерное) — это всегда движение с ускорением.
Наиболее частым случаем криволинейного равномерного движения является движение по окружности. В таком движении модуль скорости материальной точки не меняется, а траектория движения представляет собой окружность. Найдем ускорение такого движения.
Если рассмотреть вектор перемещения точки по окружности за малое время $Δt$, то относительное изменение вектора скорости будет равно отношению вектора перемещения к радиусу поворота:
$${|Δoverrightarrow v| over v}={|Δ overrightarrow r |over R}$$
Разделив это соотношение на $Δt$, получим:
$${1over v}{|Δoverrightarrow v| over Δt}={1over R}{|Δ overrightarrow r |over Δt}$$
Откуда:
$${|Δoverrightarrow v| over Δt}={vover R}{|Δ overrightarrow r |over Δt}$$
Отношение изменения вектора скорости ко времени в левой части по определению равно ускорению. Отношение вектора перемещения ко времени в правой части по определению равно скорости:
$$a={|Δoverrightarrow v| over Δt} $$
$$v={|Δ overrightarrow r |over Δt} $$
Подставляя эти отношения в формулу выше, получим:
$$a={v^2over R}$$
Поскольку мгновенная скорость и радиус при равномерном движении по окружности постоянны, то и модуль ускорения при движении по окружности также постоянен. Направление же вектора ускорения постоянно меняется. Он всегда направлен в центр окружности, по которой движется материальная точка. Поэтому такое ускорение называется центростремительным.
В задачах нередко известна не мгновенная, а угловая скорость движения $omega = 2pinu$ ($nu$ — частота вращения). Формула угловой скорости:
$$v=omega R$$
Если подставить это соотношение в предыдущее, то для центростремительного ускорения можно получить формулу через угловую скорость:
$$a={omega^2 R}$$
Что мы узнали?
Криволинейное движение, даже если оно равномерно, — это всегда движение с ускорением. При равномерном движении по окружности ускорение всегда направлено в центр окружности, и поэтому называется центростремительным. Его модуль постоянен, а направление всегда перпендикулярно вектору скорости.
