Одним из направлений теоретической информатики является алгебра логики. Основы алгебры логики изучаются в школьном курсе информатики в 8 классе. Кратко об элементах алгебры логики можно прочитать в данной статье.
Высказывания
Объектом изучения алгебры логики являются высказывания, которые представляют собой повествовательные предложения, которые могут быть однозначно оценены как истинные или ложные. Истинность высказывания обозначают единицей, ложность – нулем. Примером высказывания может быть предложение «Москва столица Российской федерации». Высказывания принято обозначать латинскими буквами.
Не все предложения, несущие ту или иную информацию можно назвать высказываниями. Например, вопросительные или побудительные предложения – это не высказывания. Также не являются высказываниями математические выражения с переменными.
Например, не являются высказываниями следующие предложения:
- Сколько весит слон?
- Летайте самолетами Аэрофлота!
- 5*х + 8*y = 24
- Этот фильм самый лучший.
Алгебра логики изучает методы работы с высказываниями.
Действия над высказываниями
Высказывания как объекты могут быть операндами следующих логических действий
- Пересечение.
- Объединение.
- Инверсия.
Наглядно логические операции поясняют круги Эйлера или диаграммы Венна.
Пересечение
Пересечение – это действие над высказываниями, в результате которого будет получено новое высказывание истинное только в том случае, когда и исходные высказывания одновременно истинны.
Например, для высказываний «На каникулах я поеду в Волгоград» и «Выходные я проведу у бабушки» результатом операции пересечения будет новое высказывание «На каникулах я поеду в Волгоград и выходные я проведу у бабушки», которое является истиной только в том случае, когда истины оба исходных утверждения одновременно
Пересечение также называют логическим умножением, конъюнкцией или логическим И.
Обозначают знаками И, & или ∩.
На диаграмме операция пересечения выглядит как закрашенная область – представляющая собой общую для каждого операнда часть.
Объединение
Объединение – представляет собой действие над двумя высказываниями, в результате которого будет получено новое высказывание, ложное в том случае, когда одно из двух исходных операндов ложно.
Например, для исходных высказываний «На каникулах я поеду в Волгоград» и «На каникулах я поеду в Питер» результатом операции объединения будет высказывание «На каникулах я поеду в Волгоград или на каникулах я поеду в Питер», которое ложно только в том случае, когда ложны оба исходных высказывания. Если хотя бы одно из первоначальных высказываний является правдой, то и результат будет иметь значение «Истина».
Объединение также называют логическим сложением, дизъюнкцией, логическим ИЛИ.
Для ее обозначения используются знаки: ИЛИ, +, U.
На диаграмме Венна операция объединения представляет собой всю область, относящуюся и к первому и ко второму операнду.
Инверсия
Инверсия – унарная логическая операция, заключающаяся в изменении на противоположное значение.
Например, высказывание «На каникулах я поеду в Волгоград» в инверсной форме будет выглядеть так «На каникулах я не поеду в Волгоград».
Инверсию обозначают знаками НЕ, ¬, ¯.
Инверсия на диаграмме Венна выглядит как область, не относящаяся к операнду.
Аксиомы алгебры логики
В математике есть понятие аксиома – постулат, не требующий доказательств.
В математической логике также есть бездоказательные утверждения, касающиеся логических операций над высказываниями.
Для объединения справедливы аксиомы:
- А + 0 = А
- А + 1 = 1
- А + А = А
- А + НЕ(А) = 1
Для пересечения характерны такие аксиомы:
- А & 0 = 0
- А & 1 = А
- А & А = А
- А & НЕ(А) = О
Для операции инверсии применима аксиома двойного отрицания НЕ (НЕ (А)), когда дважды проинвертировав операнд получают в итоге само исходное значение.
Что мы узнали?
Алгебра логики стоит на стыке математики и информатики и составляет теоретическую базу, на основе которой строятся методы работы с информацией. Объектом изучения этого направления является высказывания. Основными логическими операциями являются пересечение, объединение и инверсия. В алгебре логики действуют ряд аксиом.
