Информация в компьютере обрабатывается в цифровом формате, в виде набора нулей и единиц, поэтому все числа переводятся в двоичный вид. Система счисления, в которой для обозначения чисел применяется всего два знака, называется двоичной. Метод представления чисел в двоичном формате изучается в курсе информатики 8 класса.
Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную
Перевод целой части десятичного числа производится путем поочередного деления частного на основание двоичной системы, то есть на два. В остатке от деления останется либо ноль, либо единица. Эти остатки записываются, начиная с последнего частного в направлении слева направо. Это и будет двоичным представлением десятичного числа.
Рассмотрим примеры.
Для перевода десятичного числа 29 в двоичный формат:
Делят 29 на два, получают 14 и в остатке 1. Остаток следует запомнить.
Затем частное от деления, то есть число 14 снова делят на два, получено 7 и в остатке 0 (ноль).
Разделим 7 на два, получим частное 3 и остаток 1.
Три делят на два, получено в частном 1 и остаток 1.
Так как последнее частное 1 меньше основания системы счисления, то есть числа 2, то последовательное деление прекращают.
Затем записывают остатки, начиная с последнего частного, и получают последовательность чисел: 11101. Таким образом, десятичное число 29 в двоичной системе счисления равно 11101.
Еще один пример: перевод числа 37 в двоичный формат.
37 / 2 = 18 (1)
18 / 2 = 9 (0)
9 / 2 = 4 (1)
4 / 2 = 2 (0)
2 / 2 = 1 (0)
Получен результат: 100101.
Если десятичные числа расположить последовательно и сопоставить с их двоичными эквивалентами, то можно увидеть некоторую закономерность.
Таблица двоичной системы счисления
|
0 |
0 |
8 |
1000 |
|
1 |
01 |
9 |
1001 |
|
2 |
10 |
10 |
1010 |
|
3 |
11 |
11 |
1011 |
|
4 |
100 |
12 |
1100 |
|
5 |
101 |
13 |
1101 |
|
6 |
110 |
14 |
1110 |
|
7 |
111 |
15 |
1111 |
Как видно из таблицы, после 11 в числовом ряду двоичных чисел идет число 100. Так как в двоичной системе счисления только два знака 0 и 1 для обозначения числа, то происходит сдвиг разрядной сетки влево. После двузначного числа 11 идет трехзначное число 100.
Таблицей двоичной системы удобно пользоваться для перевода только небольших десятичных чисел. Ее даже рекомендуется запомнить, как таблицу умножения в математике. Но ни в коем случае нельзя по таблице переводить отдельные цифры числа в десятичный формат. Это приведет к ошибке. Например, десятичное число 15 это не 1 и 101, (вместе 1101), а все-таки 1111.
Перевод двоичных чисел в десятичную систему счисления
Обратный перевод двоичного числа в десятичную систему производится также строго по правилу перевода.
Сначала нумеруются разряды двоичного числа справа налево, начиная с нулевого, а затем каждая цифра двоичного числа умножается на основание двоичной системы, то есть на два, возведенной в степень соответствующего разряда. Полученные произведения суммируются, и получается десятичное число.
Например: двоичное число 1110001 в десятичной системе равно 113.
Нумеруем разряды числа, начиная с нуля: 1(6) 1(5) 1(4) 0(3) 0(2) 0(1) 1(0).
Каждую цифру двоичного числа умножаем на два в степени разряда и суммируем:
1*26 + 1*25 + 1*24 +0*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 64 + 32 + 16 + 0 + 0 + 0 +1 = 113
Следует помнить, что любое число в степени ноль равно единице.
Двоичная система счисления была описана Готфридом Вильгельмом Лейбницем в 18 веке. На это его вдохновили гексограммы из китайской книги Перемен, которые соответствовали двоичным числам от 0 до 111111.
Что мы узнали?
Данные в ЭВМ представляются в двоичном формате. Двоичная система счисления оперирует для записи чисел только двумя символами 0 и 1. Перевод десятичных чисел в двоичную систему и обратно производится строго по правилам.
