Знание признаков подобия треугольников и умение эти признаки использовать открывает новые пути в решениях задач. Иногда ученики встают в ступор при необходимости определения отношения площадей подобных треугольников из-за новизны подхода к выводу формулы. Рассмотрим сам вывод для того, чтобы понять принцип и использовать его в дальнейшем для решения задач.
Не нужно зацикливаться только на треугольниках. Хотя признаки подобия выведены только для них, любая фигура в геометрии имеет подобную. То же касается и равенства фигур: любая фигура в геометрии имеет равную себе, ведь равенство это частный случай подобия с коэффициентом k=1
Признаки подобия
На сегодняшний день для произвольного треугольника существует 3 признака подобия.
- По двум углам. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
- По сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
- По трем сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Для того, чтобы доказать пропорциональность сторон нужно посчитать отношение длин соответствующих сторон. У пропорциональных сторон результаты получатся одинаковыми.
У пропорциональны треугольников будут также пропорциональны и все характеризующие отрезки: высота, медиана, биссектриса. Коэффициент подобия одинаков для всех отрезков треугольника. Этот факт нужно запомнить, он важен для решения многих задач и выведения формулы отношения площадей подобных треугольников.
Площади подобных треугольников
Рассмотрим два подобных треугольника АВС и $A_1B_1C_1$. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
$$S={1over{2}}h*AB$$, тогда площадь второго треугольника:
$$S_1={1over{2}}h_1*A_1B_1$$
Если поделить одну площадь на вторую, то получится следующее отношение:
$${Sover{S_1}}={{h*AB}over{h_1*A_1B_1}}$$ если вспомнить, что отношение сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия, то получится следующий результат:
$${Sover{S_1}}=k*k=k^2$$ – то есть площади подобных треугольников относятся друг к другу с коэффициентом пропорциональности, равным коэффициенту подобия в квадрате
Что мы узнали?
Мы вспомнили, что такое подобные фигуры. Поговорили о подобных треугольниках. Выделили три признака подобия треугольников. Выяснили, что коэффициент подобия можно использовать не только для работы со сторонами треугольников, но и для любых характеризующих отрезков. Вывели формулу отношения площадей подобных треугольников.
