Медиана – это один из характеризующих отрезков треугольника, наравне с биссектрисой и высотой. Особую сложность у учеников часто вызывают задачи на нахождение медианы. В обычном случае приходится применять формулу, но для правильного треугольника можно вывести упрощенную версию нахождения медианы.
Нахождение медианы по общей формуле
Для начала воспользуемся общей формулой. Вспомним формулу длины медианы через длины сторон треугольника:
$$m_c={{sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}over{2}}$$
Но в правильном треугольнике все стороны равны между собой:
a=b=c
Подставим условия равенства в формулу и приведем подобные слагаемые:
$$m_c={{sqrt{2a^2+2а^2-а^2}}over{2}}$$
$$m_c={{sqrt{3a^2}}over{2}}$$
Значение $ {a^2} $ можно вынести за пределы корня. Тогда:
$$m_c={{sqrt{3a^2}}over{2}}$$
$$m_c={{sqrt{3}}over{2}*а}$$
Нахождением медианы через теорему Пифагора
Теперь попробуем вывести ту же формулу через теорему Пифагора.
В имеющемся правильном треугольнике АВС проведем медиану АМ. Она совпадет с биссектрисой и высотой. Тогда по теореме Пифагора из треугольника АВМ найдем сторону АМ, которая и будет являться медианой большого треугольника.
$$АМ=sqrt{AB^2-BM^2}$$
Но все стороны треугольника равны, а точка М является серединой стороны ВС. Значит:
$$АВ=а$$
$$ВМ={1over2}BC={1over2}a$$
Подставим эти значения в начальную формулу:
$$АМ={sqrt{AB^2-BM^2}}= {sqrt{а^2-{{а}over{2}}^2}}= sqrt{а^2-{{а^2}over{4}}}=sqrt{{3a^2}over{4}}$$
Вынесем значения $a^2$ и 4 за знак корня.
$$АМ=sqrt{{3a^2}over{4}}=a*{{3}over{sqrt{2}}}$$
Получилась та же формула длины медианы правильного треугольника. Значит, вывод первым способом был осуществлен верно и можно использовать любой из двух способов, если вы вдруг забыли формулу нахождения медианы правильного треугольника.
Последний метод очень часто используется не только для вывода формул правильного треугольника, но и для решения задач.
Что мы узнали?
Мы несколькими методами вывели формулу длины медианы правильного треугольника. Указали на метод решения простых задач на нахождение характеристик правильного треугольника, а так же вспомнили основные свойства медианы.
