Принцип сохранения энергии – абсолютно точен, не зафиксировано случаев его нарушения. Это фундаментальный закон природы, из которого вытекают другие. Поэтому важно правильно понимать его и уметь применять на практике.
Математик, Эмми Нетер, сумела доказать, что постоянство энергии – проявление однородности времени. Эта величина инвариантна относительно переноса вдоль временной координаты, поскольку законы природы с течением времени не меняются.
Будем рассматривать полную механическую энергию (E) и ее виды – кинетическую (T) и потенциальную (V). Если сложить их, то получим выражение для полной механической энергии:
$E = T + V_{(q)}$
Записывая потенциальную энергию, как $V_{(q)}$, указываем, что она зависит исключительно от конфигурации системы. Под q понимаются обобщенные координаты. Это могут быть x, y, z в прямоугольной декартовой системе координат, а могут быть любые другие. Чаще всего имеют дело с декартовой системой.
Математическая формулировка закона сохранения энергии в механике выглядит так:
$frac {d}{dt}(T+V_{(q)}) = 0$ – производная полной механической энергии по времени равна нулю.
В привычном, интегральном виде, формула закона сохранения энергии записывается так:
$T + V = const$
В механике на закон накладываются ограничения: силы, действующие на систему, должны быть консервативным (их работа зависит только от конфигурации системы). При наличии неконсервативных сил, например, трения, механическая энергия переходит в другие виды энергии (тепловую, электрическую).
Термодинамика
Попытки создать вечный двигатель особенно характерны для 18-19 веков – эпохи, когда были сделаны первые паровые машины. Неудачи, тем не менее, привели к положительному результату: было сформулировано первое начало термодинамики:
$Q = Delta U + A$ – затрачиваемое тепло расходует на совершение работы и на изменение внутренней энергии. Это ни что иное, как закон сохранения энергии, но для тепловых двигателей.
Задачи
Решение:
Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось y в момент, когда тело проходит нижнюю точку:
$ma = T – mg$, но, так как $a = frac {v^2}{L}$, его можно переписать в новом виде:
$m cdot frac {v^2}{L} = T – mg$
Теперь запишем закон сохранения энергии, учитывая, что в начальном положении кинетическая энергия равна нулю, а в нижней точке – потенциальная энергия равна нулю:
$m cdot g cdot h = frac {m cdot v^2}{2}$
Тогда сила натяжения нити равна:
$T = frac {m cdot 2 cdot g cdot h}{L} + mg = 10 cdot (0,45 + 1) = 14,5 : Н$
Что мы узнали?
В ходе урока рассмотрели фундаментальное свойство природы (однородность времени), из которого вытекает закон сохранения энергии, рассмотрели примеры этого закона в разных разделах физики. Для закрепления материала решили задачу с маятником.
