Одним из поразительных открытий, сделанных в XXв в физике, было открытие взаимосвязи массы и энергии. Оказалось, что эти величины зависят друг от друга, и даже могут быть выражены одна через другую. Кратко рассмотрим эту тему.
В самом деле, рассмотрим тело, последовательно получающее импульсы разгона – например, ракету, периодически включающую разгонный двигатель на одинаковые промежутки времени.
Пока скорость невелика, каждый разгонный импульс увеличивает скорость ракеты на одинаковую величину $Δv$. Однако, по мере приближения к скорости света, все большую роль начинает играть Лоренцево сокращение расстояний. Получается, что один и тот же разгонный импульс будет сообщать ракете все меньшую скорость $Δv'< Δv$. Как можно объяснить это уменьшение ?
Варианта только два. Можно предположить, что закон сохранения импульса не выполняется. И суммарный импульс двух импульсов меньше их алгебраической суммы. Однако, все опыты, в том числе и поставленные для релятивистских частиц, показывали, что закон сохранения импульса не нарушается. Более того, в 1918г Э.Нёттер было строго доказано, что закон сохранения импульса – это следствие симметрии пространства.
Остается предположить второй вариант – тело, по мере приближения к скорости света, увеличивает свою массу. И один и тот же импульс на разных скоростях изменяет эту скорость на разные величины.
Зависимость массы и скорости
Сокращение расстояний при изменении скорости изменяется пропорционально величине:
$$beta = sqrt{1-{v^2over c^2}}$$
Импульс же пропорционален массе:
$$overrightarrow p = moverrightarrow v$$
Следовательно, масса также изменяется пропорционально величине $beta$ ($m_0$ – масса покоя):
$$m={m_0over beta } = {m_0over sqrt{1-{v^2over c^2}}}$$
Чем больше скорость тела, тем больше масса, и при приближении к скорости света масса стремится к бесконечности:
Связь массы и энергии
Поскольку кинетическая энергия равна произведению массы на квадрат скорости, то, выходит, что при возрастании скорости энергия тела растет не только за счет увеличения скорости, но и за счет увеличения массы. А это означает взаимосвязь массы и энергии. И, кроме того, это значит, что даже при малых скоростях масса тела представляет некоторую энергию.
Этот вывод можно также получить, учтя, что при $v ll c$ коэффициент $beta$ можно представить (отбрасывая пренебрежительно малое $v^4over 4c^4$):
$$beta≈1-{v^2over 2c^2}$$
А массу:
$$m≈{m_0over 1-{v^2over 2c^2}}≈m_0+{m_0v^2over 2}{1over c}$$
Из последнего соотношения следует:
$$Δm={ΔEover c^2}$$
При сообщении телу энергии его масса растет прямо пропорционально полученной энергии.
Данное соотношение можно распространить не только на изменение массы, получаемое телом при изменении его энергии, но и на всю массу тела, в том числе на массу покоя. В результате получаем знаменитую формулу Эйнштейна, связывающую массу и энергию:
$$E=m c^2$$
То есть, согласно закону взаимосвязи массы и энергии, любая масса обладает энергией просто уже в результате своего существования.
Существуют частицы, не имеющие массу покоя – фотоны, глюоны (и гипотетические гравитоны). Это означает, что не бывает таких покоящихся частиц. Сразу при возникновении и до самого поглощения или распада они двигаются со скоростью света. Энергии покоя у них также нет.
Что мы узнали?
Из постулатов Специальной Теории Относительности следует сокращение размеров движущихся тел, а это означает, что масса тела возрастает при увеличении скорости. Вообще, любое изменение энергии тела ведет к изменению его массы. И даже у покоящегося тела есть энергия, эквивалентная его массе: $E=m c^2$
