Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) – раздел алгебры, который используется с целью упрощения решения выражений. В этой статье мы поговорим об основных особенностях применения ФСУ, а также дадим вывод этих формул. Довольно часто, причем не самые слабые ученики, при знакомстве с этой темой выносят для себя впечатление о ФСУ, как о чем-то сложном. Однако это не так, и в нашей статье мы это докажем. Ведь по самому названию – формулы сокращенного умножения, можно понять, что математики пытаются облегчить жизнь, сократить усилия и уменьшить время, которое потребуется на ту или иную операцию.

Формулы

Первые упоминания о ФСУ мы встречаем во времена древнегреческих математиков. Так, тождества встречаются в работах Евклида, известного автора работ, посвященных геометрии. В его “Началах” есть практическое обоснование и доказательство одного из тождеств ФСУ.

Вот так выглядят все ФСУ:

  • a2 – b= (a + b)(a – b)
  • (a + b)2 = a+ 2ab + b2
  • (a – b)= a– 2ab + b2
  • a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
  • a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
  • (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
  • (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
  • Рассмотрим несколько примеров:

    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

    (a – b)= a– 2ab + b2

    Важно! Будьте внимательны при запоминании формул. Рекомендуется выучить всю таблицу наизусть.

    Первая формула

    Возьмем сначала первую формулу. Что такое (a + b)? Это выражение (а+b), умноженное само на себя:

    (а+b)(а+b)

    Дальше весь вывод состоит, фактически, в простом раскрытии скобок:

    (а + b)(а + b)= aаb + аb + b2

    Важно! Надо обратить внимание на то, что при раскрытии скобок мы перемножаем b на а (два раза), но записываем и в первом, и во втором случае как аb, так как от перемены мест множителей произведение не меняется.

    Приглядевшись к тому , что у нас получилось, мы заметим, что аb встречается два раза. Теперь осуществим задачу, которая называется приведением подобных членов. Напомним, что подобные члены – это переменные, которые встречаются в одном и том же выражении несколько раз:

    a2 ab + ab + b= a2 + 2ab + b2

    Первая формула выведена. Теперь вторая:

    (a – b)2=(a – b)(a – b)

    Также, как и в первый раз, мы раскрываем скобки:

    (a – b)(a – b)=a– ab – ab + b2=a– 2ab + b2

    Запомнить очень просто, как оказывается на практике. При раскрытии скобок видно, что отличие первой от второй формулы в одном знаке, перед 2аb:

    (a + b)(a – b)=a2 + ab – ab – b2=a– b2

    Выражения ab и -ab сокращаются и остается тождество, которое у нас получилось.

    По такому же принципу решаются и формулы для кубов.

    Использование ФСУ

    А сейчас, используя ФСУ (простейшие из них), мы выведем несколько широко известных и довольно часто применяемых неравенств:

    a+ b2 ≥ 2ab

    Это неравенство получается из формулы (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

    Так как квадрат любого выражения НЕ может быть меньше нуля, то это выражение должно быть больше или равно 0:

    (a – b)2 = a2 – 2ab + b≥ 0

    В неравенствах, как и в уравнениях мы можем прибавить к их обеим частям одно и то же число, и неравенство от этого не потеряет свой смысл. Например, если к верному неравенству 5 больше 3 прибавить число 10, то 5 больше или равно 3 превратится в 15 больше или равно 13, то есть останется верным.

    Так и в случае нашего доказательства можно прибавить к обеим частям 2аb, другими словами, перенести 2аb из левой части в правую с переменой знака. В левой части 2аb исчезнет, останется a2 + b2, в правой – к нулю прибавится 2аb и останется неравенство a+ b2 ≥ 2ab

    При кажущейся простоте и очевидности вывода это неравенство широко известно и очень часто используется.

    А сейчас выведем еще одно неравенство, которое является прямым следствием предыдущего:

    a+ b+ c2 ≥ ab + ac + bc

    Это можно доказать следующим способом:

    a+ b2 ≥ 2ab

    a+ c2  2ac

    b+ c2  2bc

    Сложение

    Эти три неравенства мы можем сложить. Если сложить между собой левую и правую часть неравенства, то знак между ними останется прежним:

    a+ b2 ≥ 2ab

    a+ c2  2ac

    b+ c2  2bc

    2a+ 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2ac + 2bc

    Сокращение

    Также мы имеем право сокращать неравенства, то есть делить обе его части на одно и то же положительное число, от этого оно не перестает быть справедливым:

    a2 + b2 + c2  ab + ac + bc

    В нашем неравенстве сокращается число 2, и остается неравенство, которое требовалось доказать.

    Вывод новых алгебраических соотношений

    Есть также еще одно, менее известное. Его нам кажется уместным здесь упомянуть как образец применения ФСУ для вывода новых алгебраических соотношений, а именно

    a + b ≥ 1 ⇒ a4 + b≥ 1/8

    Довольно неочевидное следствие, особенно для неподготовленного человека. Возведем в квадрат обе части неравенства (при положительных значениях обеих частей мы имеем право это делать):

    a2 + 2ab + b2 ≥ 1

    a– 2ab b2 ≥ 0

    Складываем эти два неравенства почленно:

    2a2b2 ≥ 1

    И разделим обе части на 2:

    a2+b2 ≥ 1/2

    Возведем обе части в квадрат:

    a+ 2a2b2 + b4 ≥ 1/4

    a4 – 2a2bb4 ≥ 0

    2a2b4 ≥ 1/4

    Разделим обе части на 2 и получаем искомое неравенство:

    ab4 ≥ 1/8

    ФСУ и бином Ньютона

    Формула квадрата разности является частным случаем формулы бинома Ньютона.

    Исходная ситуация, в которой нам приходится применять бином Ньютона, и собственно формула, которая позволяет нам раскрывать n-ное количество скобок. То есть, в общем случае:

    (а+b)n

    Эта формула дает нам ответ на вопрос, чему равно произведение n-ного количества скобок (n – натуральная степень). Владея этим аппаратом, вы можете расписать выражение в виде некоторого количества слагаемых, которое получается в результате перемножения скобок такого типа n раз на себя.

    Примеры решения

    Теперь приведем несколько примеров на использование формул сокращенного умножения:

    Формулы сокращенного умножения

    Итак, в этой статье мы ознакомились с историей формул сокращенного умножения, их применением, вывели основные тождества ФСУ. Этот важный аспект алгебры играет важную роль в преобразовании выражений, да и попросту экономит ваше время.

    Как запомнить все формулы и правильно применять другие варианты ФСУ на практике, смотрите в этом видео.

    Предыдущая
    МатематикаДеление обыкновенных дробей - правила и примеры вычислений
    Следующая
    МатематикаВозрастание и убывание функции - свойства, характеристики и примеры
    Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
    Плохо
    0
    Хорошо
    0
    Супер
    0
    Добавить комментарий

    13 + восемнадцать =

    Мы в ВК, подпишись на нас!

    Подпишись на нашу группу в ВКонтакте, чтобы быть в курсе выхода нового материала...

    Вступить