Переместительный закон сложения — правило и примеры решения задач

В математике для решения задач применяются сочетательный и переместительные законы сложения. У многих учеников они могут вызвать некоторые сложности, поскольку не все понимают школьную программу 5 класса. Для этих целей специалисты разработали универсальный алгоритм обучения, который позволит не только хорошо усвоить материал, но и претендовать на высокие оценки.

Переместительный закон сложения - правило и примеры решения задач

Общие сведения

Сложение — математическая операция, при помощи которой происходит увеличение исходного числа на определенное значение. Ее элементами являются минимум два слагаемых и результат. Последний называется суммой. Всего существуют два закона сложения. К ним относятся следующие:

  • Коммутативный.
  • Ассоциативный.
  • Первый еще называется переместительным, а второй — сочетательным. Многие школьники путают правила сложения и умножения. Следует отметить, что для последнего предусмотрены три закона, т. е. распределительный, сочетательный и переместительный. У деления и умножения правила похожи, а вот для вычитания, как и для сложения, предусмотрено также два свойства.

    Чтобы не путать термины, необходимо рассмотреть каждое арифметическое действие по группам.

    Сложение и вычитание

    Сложение и вычитание являются взаимосвязанными математическими операциями. Для примера необходимо разобрать числовое выражение «10+20+30+40=100». Оно состоит из пяти элементов: четырех слагаемых и одного результата. Это математическое выражение можно записать в обратном виде 100−40−30−20=10. Данное тождество называется вычитанием.

    Переместительный закон сложения - правило и примеры решения задач

    Иными словами, вычитание — математическая операция уменьшения заданного числа (уменьшаемого) на определенное число (вычитаемое), результатом которой является разность. Для сложения и вычитания применимо всего два закона: переместительный и сочетательный. Они используются для оптимизации вычислений.

    Следует отметить, что методика ускорения расчетов используется также в программировании и информатике. Кроме того, эти правила применяются и в высшей математике. Например, для сложения или вычитания векторов, а также для работы с числовыми множествами.

    Переместительное правило

    Переместительный закон сложения гласит: от перемены мест слагаемых значение суммы не изменится. Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться числовым выражением 12+32+16+40=100. Если поменять местами элементы (слагаемые) в левой части, то должна также получиться сотня, т. е. 32+12+40+16=100. Утверждение доказано. Математическая запись или формула закона выглядит таким образом: R+T+S=T+S+R=S+T+R=M.

    Переместительный закон сложения - правило и примеры решения задач

    Специалисты рекомендуют самостоятельно придумать числовое выражение и доказать истину формулировки переместительного свойства. Для вычитания также существует переместительный закон, который может быть сформулирован следующим образом: если поменять местами вычитаемое, то разность останется прежней.

    Для доказательства правила можно использовать такой же видоизмененный пример, что и для суммы «100−40−16−32=12». В нем вычитаемое эквивалентно группе элементов 40, 16 и 32. Если эти числа поменять местами, то результат не изменится, т. е. 100−32−40−16=12. Правило доказано. Для вычитания переместительный закон записывается в таком виде: М-R-T=S, М-R-S=T и М-T-S=R. Далее необходимо рассмотреть сочетательные правила.

    Сочетательный закон

    Сочетательное правило сложения и вычитания похожи. Их суть заключается в перегруппировке элементов. Следует отметить, что последняя не влияет на результат. Она необходима для упрощения вычислений. Сочетательный закон сложения формулируется таким образом: значение суммы не зависит от группировок слагаемых.

    Например, 4+11+6+9=30. Для удобства можно записать пример в таком виде: (4+6)+(11+9)=30. Результат не изменился. Кроме того, производить вычисления стало проще. В виде формулы закон можно записать в таком виде: М+R+T=М+(R+T)=(М+T)+R=S.

    Для вычитания формулировка правила звучит следующим образом: разность не изменится, если перегруппировать вычитаемые компоненты, т. е. 30−6−11−4=30-(6+4)-4=9. Формула закона имеет вид: М-R-T-P= М-R-(T+P)= N. Следует отметить, что числа можно группировать в произвольном порядке. Главное — придерживаться принципа вынесения знака за скобку (касается только вычитания).

    Некоторые ученики часто приписывают к арифметическим операциям сложения и вычитания распределительное свойство. Это большая ошибка, поскольку для суммы и разности его не существует вообще. Далее необходимо рассмотреть операции, в которых оно применяется.

    Произведение и деление

    Для умножения и деления применимы те же правила, что и для сложения и вычитания, но к ним добавляется еще и третье — распределительное свойство. В итоге список законов имеет такой вид:

    Переместительный закон сложения - правило и примеры решения задач

  • Переместительный.
  • Сочетательный.
  • Распределительный.
  • Следует отметить, что формулировки для переместительного закона сложения и умножения практически идентичны. Для последней математической операции он звучит таким образом: произведение не изменится, когда будет выполнено перемещения одного сомножителя на место другого. Например, 2*3*4=2*4*3=24.

    В математической форме правило записывается в виде соотношения «RST=SRT=TRS=O». Для деления также используется возможность перемещения делителей, т. е. O: S: T=R или O: Т: S=R. На примере реализация правила выглядит таким образом: 60:2:15=2 или 60:15:2=2.

    Для умножения сочетательный закон формулируется в таком виде: значение произведения не изменится при группировке в любом порядке сомножителей, т. е. S*T*R=S*R*T=R*T*S=N. Для деления у него немного другой вид: делители могут группироваться в любом порядке, и это не повлияет на частное. Математическая форма записи выглядит следующим образом: N: T: R: M=N:T:(R:M)=O.

    Распределительное свойство для умножения и деления формулируется практически одинаково: произведение (деление) суммы или разности двух элементов на число эквивалентно умножению (делению) каждого элемента суммы или разности на искомый элемент. Законы имеют такие формы записи:

  • Умножение: (S+T)*M=SM+TM или (S-T)*M=SM-TM.
  • Деления: (S+T)/M=S/M+T/M или (S-T)/M=S/M-T/M.
  • Если обратить внимание на формулы, то для сложения запись невозможна, поскольку это уже будет сочетательный закон. Например, в первом пункте необходимо заменить знак «*» на сложение. Соотношение будет иметь следующий вид: (S+T)+M — сочетательное свойство операции сложения. Далее необходимо разобрать пример на применение всех законов.

    Пример задачи

    Для закрепления теоретического материала специалисты рекомендуют разобрать пример, в котором можно будет применить все законы арифметических операций. Числовое выражение задачи имеет такой вид: 5+6+5+4+20+(25+100)/5+(11+4)*4. Необходимо вычислить результат оптимальным методом. Решать задание нужно по такому алгоритму:

    Переместительный закон сложения - правило и примеры решения задач

  • Переместительный: 5+5+4+6+20+(25+100)/5+(11+4)*4.
  • Сочетательный: (5+5+20)+(4+6)+(25+100)/5+(11+4)*4.
  • Распределительный: (5+5+20)+(4+6)+25/5+100/5+11*4+4*4.
  • Математические преобразования: 40+5+20+44+16
  • Переместительный: 40+20+44+16+5.
  • Сочетательный: (40+20)+(44+16)+5.
  • Вычисление и результат: 125.
  • Следует отметить, что к числовому выражению свойства арифметических операций можно применять многократно. Специалисты рекомендуют использовать алгоритм такого вида для оптимизации вычислений.

    Таким образом, законы математических операций применяются для оптимизации вычислений для нахождения результатов.

    Предыдущая
    МатематикаПризнаки делимости на 6 - правило и примеры
    Следующая
    МатематикаСреднее арифметическое - методы и примеры расчетов
    Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
    Плохо
    0
    Хорошо
    0
    Супер
    0
    Мы в ВК, подпишись на нас!

    Подпишись на нашу группу в ВКонтакте, чтобы быть в курсе выхода нового материала...

    Вступить