Квадратный корень

Основные сведения

Чтобы найти площадь квадрата, нужно длину его стороны возвести во вторую степень.

Найдём площадь квадрата, длина стороны которого 3 см

Квадратный корень

S = 32 = 9 см2

Квадратный корень

Теперь решим обратную задачу. А именно, зная площадь квадрата определим длину его стороны. Для этого воспользуемся таким инструментом как кóрень. Корень бывает квадратный, кубический, а также n-й степени.

Сейчас наш интерес вызывает квадратный корень. По другому его называют кóрнем второй степени.

Для нахождения длины стороны нашего квадрата, нужно найти число, вторая степень которого равна 9. Таковым является число 3. Это число и является кóрнем.

Введём для работы с корнями новые обозначения.

Символ кóрня выглядит как Квадратный корень. Это по причине того, что слово корень в математике употребляется как радикал. А слово радикал происходит от латинского radix (что в переводе означает корень). Первая буква слова radix это r впоследствии преобразилась в символ корня Квадратный корень.

Под корнем располагáют подкореннóе выражение. В нашем случае подкоренным выражением будет число 9 (площадь квадрата)

Квадратный корень

Нас интересовал квадратный корень (он же корень второй степени), поэтому слева над корнем указываем число 2. Это число называют показателем корня (или степенью корня)

Квадратный корень

Получили выражение, которое читается так: «квадратный корень из числа 9». С этого момента возникает новая задача по поиску самогó корня.

Если число 3 возвести во вторую степень, то получится число 9. Поэтому число 3 и будет ответом:

Квадратный корень

Значит квадрат площадью 9 см2 имеет сторону, длина которой 3 см. Приведённое действие называют извлечéнием квадрáтного кóрня.

Нетрудно догадаться, что квадратным корнем из числа 9 также является отрицательное число −3. При его возведении во вторую степень тоже получается число 9

Квадратный корень

Получается, что выражение Квадратный корень имеет два значения: 3 и −3. Но длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, поэтому для нашей задачи ответ будет только один, а именно 3.

Вообще, квадратный корень имеет два противоположных значения: положительное и отрицательное.

Например, извлечём квадратный корень из числа 4

Квадратный корень

Это выражение имеет два значения: 2 и −2, поскольку при возведении этих чисел во вторую степень, получится один и тот же результат 4

Квадратный корень

Поэтому ответ к выражению вида Квадратный корень записывают с плюсом и минусом. Плюс с минусом означает, что квадратный корень имеет два противоположных значения.

Запишем ответ к выражению Квадратный корень с плюсом и минусом:

Квадратный корень

Определения

Дадим определение квадратному корню.

Квадратным корнем из числа a называют такое число b, которое во второй степени равно a.

То есть число b должно быть таким, чтобы выполнялось равенство b2 = a. Число b (оно же корень) обозначается через радикал Квадратный корень так, что Квадратный корень. На практике левая и правая часть поменяны местами и мы видим привычное выражение Квадратный корень

Например, квадратным корнем из числá 16 есть число 4, поскольку число 4 во второй степени равно 16

42 = 16

Корень 4 можно обозначить через радикал Квадратный корень так, что Квадратный корень.

Также квадратным корнем из числá 16 есть число −4, поскольку число −4 во второй степени равно 16

(−4)2 = 16

Если при решении задачи интересует только положительное значение, то корень называют не просто квадратным, а арифметическим квадратным.

Арифметический квадратный корень из числá a — это неотрицательное число b (b ≥ 0), при котором выполняется равенство b2 = a.

В нашем примере квадратными корнями из числá 16 являются корни 4 и −4, но арифметическим из них является только корень 4.

В разговорном языке можно использовать сокращение. К примеру, выражение Квадратный корень полностью читается так: «квадратный корень из числá шестнадцать», а в сокращённом варианте можно прочитать так: «корень из шестнадцати».

Не следует путать понятия корень и квадрат. Квадрат это число, которое получилось в результате возведения какого-нибудь числá во вторую степень. Например, числа 25, 36, 49 являются квадратами, потому что они получились в результате возведения во вторую степень чисел 5, 6 и 7 соответственно.

Корнями же являются числа 5, 6 и 7. Они являются теми числами, которые во второй степени равны 25, 36 и 49 соответственно.

Чаще всего в квадратных корнях показатель кóрня вообще не указывается. Так, вместо записи Квадратный корень можно использовать записьКвадратный корень. Если в учебнике по математике встретится корень без показателя, то нужно понимать, что это квадратный корень.

Квадрат из единицы равен единице. То есть справедливо следующее равенство:

Квадратный корень

Это по причине того, что единица во второй степени равна единице:

12 = 1

и квадрат, состоящий из одной квадратной единицы, имеет сторону, равную единице:

Квадратный корень

Квадратный корень из нуля равен нулю. То есть справедливо равенство Квадратный корень, поскольку 02 = 0.

Выражение вида Квадратный корень смысла не имеет. Например, не имеет смысла выражение Квадратный корень, поскольку вторая степень любого числа есть число положительное. Невозможно найти число, вторая степень которого будет равна −4.

Если выражение вида Квадратный корень возвести во вторую степень, то есть если записать Квадратный корень, то это выражение будет равно подкореннóму выражению a

Квадратный корень

Например, выражение Квадратный корень равно 4

Квадратный корень

Это потому что выражение Квадратный корень равно значению 2. Но это значение сразу возвóдится во вторую степень и получается результат 4.

Еще примеры:

Квадратный корень

Корень из квадрата числá равен модулю этого числá:

Квадратный корень

Например, корень из числá 5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá 5

Квадратный корень

Если во вторую степень возвóдится отрицательное число, ответ опять же будет положительным. Например, корень из числá −5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá −5. А модуль числа −5 равен 5

Квадратный корень

Действительно, если не пользуясь правилом Квадратный корень, вычислять выражение Квадратный корень обычным методом — сначала возвести число −5 во вторую степень, затем извлечь полученный результат, то полýчим ответ 5

Квадратный корень

Не следует путать правило Квадратный корень с правилом Квадратный корень. Правило Квадратный корень верно при любом a, тогда как правило Квадратный корень верно в том случае, если выражение Квадратный корень имеет смысл.

В некоторых учебниках знак корня может выглядеть без верхней линии. Выглядит это так:

Квадратный корень

Примеры: √4, √9, √16.

Мéньшему числу соответствует мéньший корень, а бóльшему числу соответствует бóльший корень.

Например, рассмотрим числа 49 и 64. Число 49 меньше, чем число 64.

49 < 64

Если извлечь квадратные корни из этих чисел, то числу 49 будет соответствовать меньший корень, а числу 64 — бóльший. Действительно, √49 = 7, а √64 = 8,

√49 < √64

Отсюда:

7 < 8

Примеры извлечения квадратных корней

Рассмотрим несколько простых примеров на извлечение квадратных корней.

Пример 1. Извлечь квадратный корень √36

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 36. Таковым является число 6, поскольку 62 = 36

√36 = 6

Пример 2. Извлечь квадратный корень √49

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 49. Таковым является число 7, поскольку 72 = 49

√49 = 7

В таких простых примерах достаточно знать таблицу умножения. Так, мы помним, что число 49 входит в таблицу умножения на семь. То есть:

7 × 7 = 49

Но 7 × 7 это 72

72 = 49

Отсюда, √49 = 7.

Пример 3. Извлечь квадратный корень √100

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 100. Таковым является число 10, поскольку 102 = 100

√100 = 10

Число 100 это последнее число, корень которого можно извлечь с помощью таблицы умножения. Для чисел, бóльших 100, квадратные корни можно находить с помощью таблицы квадратов.

Пример 3. Извлечь квадратный корень √256

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 256. Чтобы найти это число, воспользуемся таблицей квадратов.

Нахóдим в таблице квадратов число 256 и двигаясь от него влево и вверх определяем цифры, которые образуют число, квадрат которого равен 256.

Квадратный корень

Видим, что это число 16. Значит √256 = 16.

Пример 4. Найти значение выражения 2√16

В данном примере число 2 умножается на выражение с корнем. Сначала вычислим корень √16, затем перемнóжим его с числом 2

Квадратный корень

Пример 7. Решить уравнение Квадратный корень

В данном примере нужно найти значение переменной x, при котором левая часть будет равна 4.

Значение переменной x равно 16, поскольку Квадратный корень. Значит корень уравнения равен 16.

Квадратный корень

Примечание. Не следует путать корень уравнения и квадратный корень. Корень уравнения это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. А квадратный корень это число, вторая степень которого равна выражению, находящемуся под радикалом Квадратный корень.

Подобные примеры решают, пользуясь определением квадратного корня. Давайте и мы поступим так же.

Из определения мы знаем, что квадратный корень Квадратный корень равен числу b, при котором выполняется равенство b2 = a.

Квадратный корень

Применим равенство b2 = a к нашему примеру Квадратный корень. Роль переменной b у нас играет число 4, а роль переменной a — выражение, находящееся под корнем Квадратный корень, а именно переменная x

Квадратный корень

В выражении 42 = x вычислим левую часть, полýчим 16 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим = 16. В результате приходим к тому, что нашлось значение переменной x.

Пример 8. Решить уравнение Квадратный корень

Перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

Квадратный корень

Возведем правую часть во вторую степень и приравняем её к переменной x

Квадратный корень

Вычислим правую часть, полýчим 64 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим = 64. Значит корень уравнения Квадратный корень равен 64

Квадратный корень

Пример 9. Решить уравнение Квадратный корень

Воспользуемся определением квадратного корня:

Квадратный корень

Роль переменной b играет число 7, а роль переменной a — подкореннóе выражение 3 + 5x. Возведем число 7 во вторую степень и приравняем его к 3 + 5x

Квадратный корень

В выражении 72 = 3 + 5x вычислим левую часть полýчим 49 = 3 + 5x. Получилось обычное линейное уравнение. Решим его:

Квадратный корень

Корень уравнения Квадратный корень равен Квадратный корень. Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение:

Квадратный корень

Пример 10. Найти значение выражения Квадратный корень

В этом выражении число 2 умножается на квадратный корень из числа 49.

Сначала нужно извлечь квадратный корень и перемножить его с числом 2

Квадратный корень

Приближённое значение квадратного корня

Не каждый квадратный корень можно извлечь. Извлечь квадратный корень можно только в том случае, если удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению.

Например, извлечь квадратный корень Квадратный корень можно, потому что удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению. Таковым является число 8, поскольку 82 = 64. То есть Квадратный корень

А извлечь квадратный корень Квадратный корень нельзя, потому что невозможно найти число, вторая степень которого равна 3. В таком случае говорят, что квадратный корень из числа 3 не извлекается.

Зато можно извлечь квадратный корень из числа 3 приближённо. Извлечь квадратный корень приближённо означает найти значение, которое при возведении во вторую степень будет максимально близко к подкореннóму выражению.

Приближённое значение ищут с определенной точностью: с точностью до целых, с точностью до десятых, с точностью до сотых и так далее.

Найдём значение корня Квадратный корень приближённо с точностью до десятых. Словосочетание «с точностью до десятых» говорит о том, что приближённое значение корня Квадратный корень будет представлять собой десятичную дробь, у которой после запятой одна цифра.

Для начала найдём ближайшее меньшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 1. Корень из этого числа равен самому этому числу:

√1 = 1

Аналогично находим ближайшее бóльшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 4. Корень из этого числа равен 2

√4 = 2

√1 меньше, чем √4

√1 < √4

А √3 больше, чем √1 но меньше, чем √4. Запишем это в виде двойного неравенства:

√1 < √3 < √4

Точные значения корней √1 и √4 известны. Это числа 1 и 2

1 < √3 < 2

Тогда очевидно, что значение корня √3 будет представлять собой десятичную дробь, потому что между числами 1 и 2 нет целых чисел.

Для нахождения приближённого значения квадратного корня √3 будем проверять десятичные дроби, располагающиеся в интервале от 1 до 2, возводя их в квадрат. Делать это будем до тех пор пока не полýчим значение, максимально близкое к 3. Проверим к примеру дробь 1,1

1,12 = 1,21

Получился результат 1,21, который не очень близок к подкореннóму выражению 3. Значит 1,1 не годится в качестве приближённого значения квадратного корня √3, потому что оно малó.

Проверим тогда дробь 1,8

1,82 = 3,24

Получился результат 3,24, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,24. Значит 1,8 не годится в качестве приближенного значения корня √3, потому что оно великó.

Проверим тогда дробь 1,7

1,72 = 2,89

Получился результат 2,89, который уже близок к подкореннóму выражению. Значит 1,7 и будет приближённым значением квадратного корня √3. Напомним, что знак приближенного значения выглядит как ≈

√3 ≈ 1,7

Значение 1,6 проверять не нужно, потому что в результате получится число 2,56, которое дальше от трёх, чем значение 2,89. А значение 1,8, как было показано ранее, является уже большим.

В данном случае мы нашли приближенное значение корня √3 с точностью до десятых. Значение можно получить ещё более точно. Для этого его следует находить с точностью до сотых.

Чтобы найти значение с точностью до сотых проверим десятичные дроби в интервале от 1,7 до 1,8

1,7 < √3 < 1,8

Проверим дробь 1,74

1,742 = 3,0276

Получился результат 3,0276, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,0276. Значит значение 1,74 великó для корня √3.

Проверим тогда дробь 1,73

1,732 = 2,9929

Получился результат 2,9929, который близок к подкореннóму выражению √3. Значит 1,73 будет приближённым значением квадратного корня √3 с точностью до сотых.

Процесс нахождения приближённого значения квадратного корня продолжается бесконечно. Так, корень √3 можно находить с точностью до тысячных, десятитысячных и так далее:

√3 = 1,732 (вычислено с точностью до тысячных)

√3 = 1,7320 (вычислено с точностью до десятитысячных)

√3 = 1,73205 (вычислено с точностью до ста тысячных).

Ещё квадратный корень можно извлечь с точностью до целых. Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых равно единице:

√3 ≈ 1

Значение 2 будет слишком большим, поскольку при возведении этого числа во вторую степень получается число 4, которое больше подкоренного выражения. Нас же интересуют значения, которые при возведении во вторую степень равны подкореннóму выражению или максимально близки к нему, но не превосходят его.

В зависимости от решаемой задачи допускается находить значение, вторая степень которого больше подкоренного выражения. Это значение называют приближённым значением квадратного корня с избытком. Поговорим об этом подробнее.

Приближенное значение квадратного корня с недостатком или избытком

Иногда можно встретить задание, в котором требуется найти приближённое значение корня с недостатком или избытком.

В предыдущей теме мы нашли приближённое значение корня √3 с точностью до десятых с недостатком. Недостаток понимается в том смысле, что до значения 3 нам недоставало ещё некоторых частей. Так, найдя приближённое значение √3 с точностью до десятых, мы получили 1,7. Это значение является значением с недостатком, поскольку при возведении этого числа во вторую степень полýчим результат 2,89. Этому результату недостаёт ещё 0,11 чтобы получить число 3. То есть, 2,89 + 0,11 = 3.

С избытком же называют приближённые значения, которые при возведении во вторую степень дают результат, который превосходит подкореннóе выражение. Так, вычисляя корень √3 приближённо, мы проверили значение 1,8. Это значение является приближённым значением корня √3 с точностью до десятых с избытком, поскольку при возведении 1,8 во вторую степень, получаем число 3,24. Этот результат превосходит подкореннóе выражение на 0,24. То есть 3,24 − 3 = 0,24.

Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых тоже был найден с недостатком:

√3 ≈ 1

Это потому что при возведении единицы в квадрат получаем единицу. То есть до числа 3 недостаёт ещё 2.

Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых можно найти и с избытком. Тогда этот корень приближённо будет равен 2

√3 ≈ 2

Это потому что при возведении числа 2 в квадрат получаем 4. Число 4 превосходит подкореннóе выражение 3 на единицу. Извлекая приближённо квадратный корень с избытком желательно уточнять, что корень извлечен именно с избытком:

√3 ≈ 2 (с избытком)

Потому что приближённое значение чаще всего ищется с недостатком, чем с избытком.

Дополнительно следует упомянуть, что в некоторых учебниках словосочетания «с точностью до целых», «с точностью до десятых», с «точностью до сотых», заменяют на словосочетания «с точностью до 1», «с точностью до 0,1», «с точностью до 0,01» соответственно.

Так, если в задании сказано извлечь квадратный корень из числа 5 с точностью до 0,01, то это значит что корень следует извлекать приближённо с точностью до сотых:

√5 ≈ 2,23

Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 1

√51 ≈ 7

Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,1

√51 ≈ 7,1

Пример 4. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,01

√51 ≈ 7,14

Границы, в пределах которых располагаются корни

Если исходное число принадлежит промежутку [1; 100], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [1; 10].

Например, пусть исходным числом будет 64. Данное число принадлежит промежутку [1; 100]. Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 64 будет принадлежать промежутку [1; 10]. Теперь вспоминаем таблицу умножения. Какое перемножение двух одинаковых сомножителей даёт в результате 64? Ясно, что перемножение 8 × 8, а это есть 82 = 64. Значит квадратный корень из числа 64 есть 8

Квадратный корень

Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 49

Число 49 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 7, поскольку 72 = 49

√49 = 7

Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 1

Число 1 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 1, поскольку 12 = 1

√1 = 1

Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 100

Число 100 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 10, поскольку 102 = 100

√100 = 10

Понятно, что промежуток [1; 100] содержит ещё и числа, квадратные корни из которых не извлекаются. Для таких чисел корень нужно извлекать приближённо. Тем не менее, приближённый корень тоже будет располагаться в пределах промежутка [1; 10].

Например, извлечём квадратный корень из числа 37. Нет целого числа, вторая степень которого была бы равна 37. Поэтому извлекать квадратный корень следует приближённо. Извлечём его к примеру с точностью до сотых:

√37 ≈ 6,08

Для облегчения можно находить ближайшее меньшее число, корень из которого извлекается. Таковым в данном примере было число 36. Квадратный корень из него равен 6. И далее отталкиваясь от числа 6, можно находить приближённое значение корня √37, проверяя различные десятичные дроби, целая часть которых равна 6.

Квадраты чисел от 1 до 10 обязательно нужно знать наизусть. Ниже представлены эти квадраты:

12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100

И обратно, следует знать значения квадратных корней этих квадратов:

Квадратный корень

Если к любому числу от 1 до 10 в конце дописать ноль (или несколько нулей), и затем возвести это число во вторую степень, то в полученном числе будет в два раза больше нулей.

Например, 62 = 36. Допишем к числу 6 один ноль, полýчим 60. Возведём число 60 во вторую степень, полýчим 3600

602 = 3600

А если к числу 6 дописать два нуля, и возвести это число во вторую степень, то полýчим число, в котором четыре нуля. То есть в два раза больше нулей:

6002 = 360000

Тогда можно сделать следующий вывод:

Если исходное число содержит знакомый нам квадрат и чётное количество нулей, то можно извлечь квадратный корень из этого числа. Для этого следует извлечь корень из знакомого нам квадрата и затем записать половину количества нулей из исходного числа.

Например, извлечём квадратный корень из числа 900. Видим, что в данном числе есть знакомый нам квадрат 9. Извлекаем из него корень, получаем 3

Квадратный корень

Теперь из исходного числа записываем половину от количества нулей. В исходном числе 900 содержится два нуля. Половина этого количества нулей есть один ноль. Записываем его в ответе после цифры 3

Квадратный корень

Пример 2. Извлечём квадратный корень из числа 90000

Здесь опять же имеется знакомый нам квадрат 9 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 9 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе содержится четыре нуля. Половиной же этого количества нулей будет два нуля:

Квадратный корень

Пример 3. Извлечем квадратный корень из числа 36000000

Здесь имеется знакомый нам квадрат 36 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 36 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе шесть нулей. Половиной же будет три нуля:

Квадратный корень

Пример 4. Извлечем квадратный корень из числа 2500

Здесь имеется знакомый нам квадрат 25 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 25 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе два нуля. Половиной же будет один ноль:

Квадратный корень

Если подкореннóе число увеличить (или уменьшить) на 100, 10000 то корень увеличится (или уменьшится) в 10, 100 раз соответственно.

Например, Квадратный корень. Если увеличим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень увеличится в 10 раз:

Квадратный корень

И наоборот, если в равенстве Квадратный корень уменьшим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень уменьшится в 10 раз:

Квадратный корень

Пример 2. Увеличим в равенстве Квадратный корень подкореннóе число в 10000, тогда квадратный корень 70 увеличиться в 100 раз

Квадратный корень

Пример 3. Уменьшим в равенстве Квадратный корень подкореннóе число в 100 раз, тогда квадратный корень 70 уменьшится в 10 раз

Квадратный корень

Эта закономерность позволяет извлечь квадратный корень из десятичной дроби, если в данной дроби после запятой содéржатся две цифры, и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат. В таких случаях данную десятичную дробь следует умножить на 100. Затем извлечь квадратный корень из получившегося числа и уменьшить подкореннóе число в сто раз.

Например, извлечём квадратный корень из числа 0,25. В данной десятичной дроби после запятой содержатся две цифры и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат 25.

Умнóжим десятичную дробь 0,25 на 100, полýчим 25. А из числа 25 квадратный корень извлекается легко:

Квадратный корень

Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,25, а не из 25. Чтобы исправить ситуацию, вернём нашу десятичную дробь. Если в равенстве Квадратный корень подкореннóе число уменьшить в 100 раз, то полýчим под корнем 0,25 и соответственно ответ уменьшится в 10 раз:

Квадратный корень

Обычно в таких случаях достаточно уметь передвигáть запятую. Потому что сдвинуть в числе запятую вправо на две цифры это всё равно что умножить это число на 100.

В предыдущем примере в подкоренном числе 0,25 можно было сдвинуть запятую вправо на две цифры, а в полученном ответе сдвинуть её влево на одну цифру.

Например, извлечем корень из числа 0,81. Мысленно передвинем запятую вправо на две цифры, полýчим 81. Теперь извлечём квадратный корень из числа 81, полýчим ответ 9. В ответе 9 передвинем запятую влево на одну цифру, полýчим 0,9. Значит, Квадратный корень.

Это правило работает и в ситуации, когда после запятой содержатся четыре цифры и эти цифры образуют знакомый нам квадрат.

Например, десятичная дробь 0,1225 содержит после запятой четыре цифры. Эти четыре цифры образуют число 1225, квадратный корень из которого равен 35.

Тогда можно извлечь квадратный корень и из 0,1225. Умнóжим данную десятичную дробь на 10000, полýчим 1225. Из числа 1225 квадратный корень можно извлечь с помощью таблицы квадратов:

Квадратный корень

Квадратный корень

Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,1225, а не из 1225. Чтобы исправить ситуацию, в равенстве Квадратный корень подкореннóе число уменьшим в 10000 раз. В результате под корнем образуется десятичная дробь 0,1225, а правая часть уменьшится в 100 раз

Квадратный корень

Эта же закономерность будет работать и при извлечении корней из дробей вида 12,25. Если цифры из которых состоит десятичная дробь образуют знакомый нам квадрат, при этом после запятой содержится чётное количество цифр, то можно извлечь корень из этой десятичной дроби.

Умнóжим десятичную дробь 12,25 на 100, полýчим 1225. Извлечём корень из числа 1225

Квадратный корень

Теперь в равенстве Квадратный корень уменьшим подкореннóе число в 100 раз. В результате под корнем образуется число 12,25, и соответственно ответ уменьшится в 10 раз

Квадратный корень

Если исходное число принадлежит промежутку [100; 10000], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [10; 100].

В этом случае применяется таблица квадратов:

Квадратный корень

Например, пусть исходным числом будет 576. Данное число принадлежит промежутку [100; 10000]. Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 576 будет принадлежать промежутку [10; 100]. Теперь открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 576

Квадратный корень

Видим, что это число 24. Значит Квадратный корень.

Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 432.

Число 432 принадлежит промежутку [100; 10000]. Значит квадратный корень следует искать в промежутке [10; 100]. Открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 432. Обнаруживаем, что число 432 в таблице квадратов отсутствует. В этом случае квадратный корень следует искать приближённо.

Извлечем квадратный корень из числа 432 с точностью до десятых.

В таблице квадратов ближайшее меньшее число к 432 это число 400. Квадратный корень из него равен 20. Отталкиваясь от числа 20, будем проверять различные десятичные дроби, целая часть которых равна 20.

Проверим, например, число 20,8. Для этого возведём его в квадрат:

20,82 = 432,64

Получилось число 432,64 которое превосходит исходное число 432 на 0,64. Видим, что значение 20,8 великó для корня √432. Проверим тогда значение 20,7

20,72 = 428,49

Значение 20,7 годится в качестве корня, поскольку в результате возведения этого числа в квадрат получается число 428,49, которое меньше исходного числа 432, но близко к нему. Значит √432 ≈ 20,7.

Необязательно запоминать промежутки чтобы узнать в каких границах располагается корень. Можно воспользоваться методом нахождения ближайших квадратов с чётным количеством нулей на конце.

Например, извлечём корень из числа 4225. Нам известен ближайший меньший квадрат 3600, и ближайший больший квадрат 4900

3600 < 4225 < 4900

Извлечём квадратные корни из чисел 3600 и 4900. Это числа 60 и 70 соответственно:

Квадратный корень

Тогда можно понять, что квадратный корень из числа 4225 располагается между числами 60 и 70. Можно даже найти его методом подбора. Корни 60 и 70 исключаем сразу, поскольку это корни чисел 3600 и 4900. Затем можно проверить, например, корень 64. Возведём его в квадрат (или умнóжим данное число само на себя)

Квадратный корень

Корень 64 не годится. Проверим корень 65

Квадратный корень

Получается 4225. Значит 65 является корнем числа 4225

Квадратный корень

Тождественные преобразования с квадратными корнями

Над квадратными корнями можно выполнять различные тождественные преобразования, тем самым облегчая их вычисление. Рассмотрим некоторые из этих преобразований.

Квадратный корень из произведения

Квадратный корень из произведения это выражение вида Квадратный корень, где a и b некоторые числа.

Например, выражение Квадратный корень является квадратным корнем из произведения чисел 4 и 9.

Чтобы извлечь такой квадратный корень, нужно по отдельности извлечь квадратные корни из множителей 4 и 9, представив выражение Квадратный корень в виде произведения корней Квадратный корень. Вычислив по отдельности эти корни полýчим произведение 2 × 3, которое равно 6

Квадратный корень

Конечно, можно не прибегать к таким манипуляциям, а вычислить сначала подкореннóе выражение 4 × 9, которое равно 36. Затем извлечь квадратный корень из числа 36

Квадратный корень

Но при извлечении квадратных корней из больших чисел это правило может оказаться весьма полезным.

Допустим, потребовалось извлечь квадратный корень из числа 144. Этот корень легко определяется с помощью таблицы квадратов — он равен 12

Квадратный корень

Но предстáвим, что таблицы квадратов под рукой не оказалось. В этом случае число 144 можно разложить на простые множители. Затем из этих простых множителей составить числа, квадратные корни из которых извлекаются.

Итак, разлóжим число 144 на простые множители:

Квадратный корень

Получили следующее разложение:

Квадратный корень

В разложéнии содержатся четыре двойки и две тройки. При этом все числа, входящие в разложение, перемнóжены. Это позволяет предстáвить произведения одинаковых сомножителей в виде степени с показателем 2.

Тогда четыре двойки можно заменить на запись 22 × 22, а две тройки заменить на 32

Квадратный корень

В результате будем иметь следующее разложение:

Квадратный корень

Теперь можно извлекáть квадратный корень из разложения числа 144

Квадратный корень

Применим правило извлечения квадратного корня из произведения:

Квадратный корень

Ранее было сказано, что если подкореннóе выражение возведенó во вторую степень, то такой квадратный корень равен модулю из подкореннóго выражения.

Тогда получится произведение 2 × 2 × 3, которое равно 12

Квадратный корень

Простые множители представляют в виде степени для удобства и короткой записи. Допускается также записывать их под кóрнем как есть, чтобы впоследствии перемнóжив их, получить новые сомножители.

Так, разложив число 144 на простые множители, мы получили разложение 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3. Это разложение можно записать под кóрнем как есть:

Квадратный корень

затем перемнóжить некоторые сомножители так, чтобы получились числа, квадратные корни из которых извлекаются. В данном случае можно дважды перемнóжить две двойки и один раз перемнóжить две тройки:

Квадратный корень

Затем применить правило извлечения квадратного корня из произведения и получить окончательный ответ:

Квадратный корень

С помощью правила извлечения квадратного корня из произведения можно извлекать корень и из других больших чисел. В том числе, из тех чисел, которых нет в таблице квадратов.

Например, извлечём квадратный корень из числа 13456. Этого числа нет в таблице квадратов, поэтому воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения, предварительно разложив число 13456 на простые множители.

Итак, разложим число 13456 на простые множители:

Квадратный корень

В разложении имеются четыре двойки и два числа 29. Двойки дважды предстáвим как 22. А два числа 29 предстáвим как 292. В результате полýчим следующее разложение числа 13456

Квадратный корень

Теперь будем извлекать квадратный корень из разложения числа 13456

Квадратный корень

Итак, если ≥ 0 и ≥ 0, то Квадратный корень. То есть корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Докажем равенство Квадратный корень. Для этого воспользуемся определением квадратного корня.

Согласно определению, квадратным корня из числа a есть число b, при котором выполняется равенство b= a.

В нашем случае нужно удостовериться, что правая часть равенства Квадратный корень при возведении во вторую степень даст в результате подкореннóе выражение левой части, то есть выражение ab.

Итак, выпишем правую часть равенства Квадратный корень и возведём ее во вторую степень:

Квадратный корень

Теперь воспользуемся правилом возведения в степень произведения. Согласно этому правилу, каждый множитель данного произведения нужно возвести в указанную степень:

Квадратный корень

Ранее было сказано, что если выражение вида Квадратный корень возвести во вторую степень, то получится подкореннóе выражение. Применим это правило. Тогда полýчим ab. А это есть подкореннóе выражение квадратного корня Квадратный корень

Квадратный корень

Значит равенство Квадратный корень справедливо, поскольку при возведéнии правой части во вторую степень, получается подкореннóе выражение левой части.

Правило извлечения квадратного корня из произведения работает и в случае, если под кóрнем располагается более двух множителей. То есть справедливым будет следующее равенство:

Квадратный корень, при ≥ 0 и ≥ 0, ≥ 0.

Пример 1. Найти значение квадратного корня Квадратный корень

Запишем корень Квадратный корень в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:

Квадратный корень

Пример 2. Найти значение квадратного корня Квадратный корень

Предстáвим число 250 в виде произведения чисел 25 и 10. Делать это будем под знáком корня:

Квадратный корень

Теперь под кóрнем образовалось два одинаковых множителя 10 и 10. Перемнóжим их, полýчим 100

Квадратный корень

Далее применяем правило извлечения квадратного кóрня из произведения и получáем окончательный ответ:

Квадратный корень

Пример 3. Найти значение квадратного корня Квадратный корень

Воспользуемся правилом возведения степени в степень. Степень 114 предстáвим как (112)2.

Квадратный корень

Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:

Квадратный корень

В нашем случае квадратный корень из числа (112)2 будет равен 112. Говоря простым языком, внешний показатель степени 2 исчезнет, а внутренний останется:

Квадратный корень

Далее возводим число 11 во вторую степень и получаем окончательный ответ:

Квадратный корень

Этот пример также можно решить, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из произведения. Для этого подкореннóе выражение 114 нужно записать в виде произведения 112 × 112. Затем извлечь квадратный корень из этого произведения:

Квадратный корень

Пример 4. Найти значение квадратного корня Квадратный корень

Перепишем степень 34 в виде (32)2, а степень 56 в виде (53)2

Квадратный корень

Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из произведения:

Квадратный корень

Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:

Квадратный корень

Вычислим произведение получившихся степеней и полýчим окончательный ответ:

Квадратный корень

Сомножители, находящиеся под корнем, могут быть десятичными дробями. Например, извлечём квадратный корень из произведения Квадратный корень

Запишем корень Квадратный корень в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:

Квадратный корень

Пример 6. Найти значение квадратного корня Квадратный корень

Квадратный корень

Пример 7. Найти значение квадратного корня Квадратный корень

Квадратный корень

Если первый сомножитель умножить на число n, а второй сомножитель разделить на это число n, то произведение не изменится.

Например, произведение 8 × 4 равно 32

8 × 4 = 32

Умнóжим сомножитель 8 скажем на число 2, а сомножитель 4 раздéлим на это же число 2. Тогда получится произведение 16 × 2, которое тоже равно 32.

(8 × 2) × (4 : 2) = 32

Это свойство полезно при решении некоторых задач на извлечение квадратных корней. Сомножители подкореннóго выражения можно умнóжить и разделить так, чтобы корни из них извлекались.

Например, извлечём квадратный корень из произведения Квадратный корень. Если сразу воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из произведения, то не полýчится извлечь корни √1,6 и √90, потому что они не извлекаются.

Проанализировав подкореннóе выражение 1,6 × 90, можно заметить, что если первый сомножитель 1,6 умножить на 10, а второй сомножитель 90 разделить на 10, то полýчится произведение 16 × 9. Из такого произведения квадратный корень можно извлечь, пользуясь правилом извлечения квадратного корня из произведения.

Запишем полное решение данного примера:

Квадратный корень

Процесс умножения и деления можно выполнять в уме. Также можно пропустить подробную запись извлечения квадратного корня из каждого сомножителя. Тогда решение станóвится короче:

Квадратный корень

Пример 9. Найти значение квадратного корня Квадратный корень

Умнóжим первый сомножитель на 10, а второй раздéлим на 10. Тогда под кóрнем образуется произведение 36 × 0,04, квадратный корень из которого извлекается:

Квадратный корень

Если в равенстве Квадратный корень поменять местами левую и правую часть, то полýчим равенство Квадратный корень. Это преобразовáние позволяет упрощáть вычисление некоторых корней.

Например, узнáем чему равно значение выражения Квадратный корень.

Квадратные корни из чисел 10 и 40 не извлекаются. Воспользуемся правилом Квадратный корень, то есть заменим выражение из двух корней Квадратный корень на выражение с одним корнем, под которым будет произведение из чисел 10 и 40

Квадратный корень

Теперь найдём значение произведения, находящегося под корнем:

Квадратный корень

А квадратный корень из числа 400 извлекается. Он равен 20

Квадратный корень

Сомножители, располагáющиеся под корнем, можно расклáдывать на множители, группировáть, представлять в виде степени, а также перемножáть для получения новых сомножителей, корни из которых извлекаются.

Например, найдём значение выражения Квадратный корень.

Воспользуемся правилом Квадратный корень

Квадратный корень

Сомножитель 32 это 25. Предстáвим этот сомножитель как 2 × 24

Квадратный корень

Перемнóжим сомножители 2 и 2, полýчим 4. А сомножитель 24 предстáвим в виде степени с показателем 2

Квадратный корень

Теперь воспóльзуемся правилом Квадратный корень и вычислим окончательный ответ:

Квадратный корень

Пример 12. Найти значение выражения Квадратный корень

Воспользуемся правилом Квадратный корень

Квадратный корень

Сомножитель 8 это 2 × 2 × 2, а сомножитель 98 это 2 × 7 × 7

Квадратный корень

Теперь под кóрнем имеются четыре двойки и две семёрки. Четыре двойки можно записать как 22 × 22, а две семёрки как 72

Квадратный корень

Теперь воспользуемся правилом Квадратный корень и вычислим окончательный ответ:

Квадратный корень

Квадратный корень из дроби

Квадратный корень видаКвадратный корень равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа a, а в знаменателе — квадратный корень из числа b

Квадратный корень

Например, квадратный корень из дроби Квадратный корень равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа 4, а в знаменателе — квадратный корень из числа 9

Квадратный корень

Вычислим квадратные корни в числителе и знаменателе:

Квадратный корень

Значит, квадратный корень из дроби Квадратный корень равен Квадратный корень.

Докáжем, что равенство Квадратный корень является верным.

Возведём правую часть во вторую степень. Если в результате полýчим дробь Квадратный корень, то это будет означать, что равенство Квадратный корень верно:

Квадратный корень

Пример 1. Извлечь квадратный корень Квадратный корень

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

Квадратный корень

Пример 2. Извлечь квадратный корень Квадратный корень

Переведём подкореннóе выражение в неправильную дробь, затем воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

Квадратный корень

Пример 3. Извлечь квадратный корень Квадратный корень

Квадратным корнем из числа 0,09 является 0,3. Но можно извлечь этот корень, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из дроби.

Предстáвим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби. 0,09 это девять сотых:

Квадратный корень

Теперь можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:

Квадратный корень

Пример 4. Найти значение выражения Квадратный корень

Извлечём корни из 0,09 и 0,25, затем сложим полученные результаты:

Квадратный корень

Также можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:

Квадратный корень

В данном примере первый способ оказался проще и удобнее.

Пример 5. Найти значение выражения Квадратный корень

Сначала вычислим квадратный корень, затем перемнóжим его с 10. Получившийся результат вычтем из 4

Квадратный корень

Пример 6. Найти значение выражения Квадратный корень

Сначала найдём значение квадратного корня Квадратный корень. Он равен 0,6 поскольку 0,62 = 0,36

Квадратный корень

Теперь вычислим получившееся выражение. Согласно порядку действий, сначала надо выполнить умножение, затем сложение:

Квадратный корень

Вынесение множителя из-под знака корня

В некоторых задачах может быть полезным вынесение множителя из-под знака корня.

Рассмотрим квадратный корень из произведения Квадратный корень. Согласно правилу извлечения квадратного корня из произведения, нужно извлечь квадратный корень из каждого множителя данного произведения:

Квадратный корень

В нашем примере квадратный корень извлекается только из множителя 4. Его мы извлечём, а выражение Квадратный корень оставим без изменений:

Квадратный корень

Это и есть вынесение множителя из-под знака корня.

На практике подкореннóе выражение чаще всего требуется разложить на множители.

Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении Квадратный корень

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 9 и 2. Тогда полýчим:

Квадратный корень

Теперь воспользуемся правило извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 9. Множитель 2 остáвим под кóрнем:

Квадратный корень

Пример 3. Вынести множитель из-под знака корня в выражении Квадратный корень

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 121 и 3. Тогда полýчим:

Квадратный корень

Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 121. Выражение √3 остáвим под корнем:

Квадратный корень

Пример 4. Вынести множитель из-под знака корня в выражении Квадратный корень

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:

Квадратный корень

Квадратный корень извлекается только из числа 121. Извлечём его, а выражение √15 оставим без изменений:

Квадратный корень

Получается, что множитель 11 вынесен из-под знака корня. Вынесенный множитель принято записывать до выражения с корнем. Поменяем выражения √15 и 11 местами:

Квадратный корень

Пример 5. Вынести множитель из-под знака корня в выражении Квадратный корень

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 4 и 3

Квадратный корень

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:

Квадратный корень

Извлечём корень из числа 4, а выражение √3 остáвим без изменений:

Квадратный корень

Пример 6. Упростить выражение Квадратный корень

Предстáвим второе слагаемое Квадратный корень в виде Квадратный корень. А третье слагаемое Квадратный корень предстáвим в виде Квадратный корень

Квадратный корень

Теперь в выражениях Квадратный корень и Квадратный корень вынесем множитель из-под знака корня:

Квадратный корень

Во втором слагаемом Квадратный корень перемнóжим числа −4 и 4. Остальное перепишем без изменений:

Квадратный корень

Замечáем, что получившемся выражении квадратный корень √3 является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Квадратный корень

Вычислим содержимое скобок, полýчим −1

Квадратный корень

Если множителем является −1, то записывают только минус. Единица опускается. Тогда полýчим окончательный ответ −√3

Квадратный корень

Внесение множителя под знак корня

Рассмотрим следующее выражение:

Квадратный корень

В этом выражении число 5 умнóжено на квадратный корень из числа 9. Найдём значение этого выражения.

Сначала извлечём квадратный корень, затем перемнóжим его с числом 5.

Квадратный корень из 9 равен 3. Перемнóжим его с числом 5. Тогда полýчим 15

Квадратный корень

Число 5 в данном случае было множителем. Внесём этот множитель под знак корня. Но сделать это нужно таким образом, чтобы в результате наших действий значение исходного выражения не изменилось. Проще говоря, после внесения множителя 5 под знак корня, получившееся выражение по-прежнему должно быть равно 15.

Значение выражения не изменится, если число 5 возвести во вторую степень и только тогда внести его под корень:

Квадратный корень

Итак, если данó выражение Квадратный корень, и нужно внести множитель a под знак корня, то надо возвести во вторую степень множитель a и внести его под корень:

Квадратный корень

Пример 1. Внести множитель под знак корня в выражении Квадратный корень

Возведём число 7 во вторую степень и внесём его под знак корня:

Квадратный корень

Пример 2. Внести множитель под знак корня в выражении Квадратный корень

Возведём число 10 во вторую степень и внесем его под знак корня:

Квадратный корень

Пример 3. Внести множитель под знак корня в выражении Квадратный корень

Квадратный корень

Вносить под знак корня можно только положительный множитель. Ранее было сказано, что выражение вида Квадратный корень не имеет смысла.

Однако, если перед знаком кóрня располагается отрицательный множитель, то минус можно оставить за знáком корня, а самó число внести под знак корня.

Пример 4. Внести множитель по знак корня в выражении Квадратный корень

В этом примере под знак корня внóсится только 3. Минус остаётся за знáком корня:

Квадратный корень

Пример 5. Выполнить возведéние в степень в следующем выражении:

Квадратный корень

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Роль переменной a в данном случае играет выражение √3, роль переменной b — выражение √2. Тогда полýчим:

Квадратный корень

Теперь необходимо упростить получившееся выражение.

Для выражений Квадратный кореньи Квадратный корень применим правило Квадратный корень. Ранее мы говорили, что если выражение вида Квадратный корень возвести во вторую степень, то это выражение будет равно подкореннóму выражению a.

А в выражении Квадратный корень для множителей Квадратный корень и Квадратный корень применим правило Квадратный корень. То есть заменим произведение корней на один общий корень:

Квадратный корень

Приведём подобные слагаемые. В данном случае можно сложить слагаемые 3 и 2. А в слагаемом Квадратный корень вычислить произведение, которое под кóрнем:

Квадратный корень

 

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение квадратного корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 2. Найдите значение квадратного корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 3. Найдите значение квадратного корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 4. Найдите значение выражения:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 5. Найдите значение квадратного корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 6. Найдите значение квадратного корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 7. Найдите значение квадратного корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 8. Найдите значения следующих выражений:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 9. Извлеките квадратный корень из числа 4624

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 10. Извлеките квадратный корень из числа 11025

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 11. Найдите значение квадратного корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 12. Найдите значение квадратного корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 13. Найдите значение квадратного корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 14. Найдите значение квадратного корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 15. Найдите значение квадратного корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 16. Найдите значение выражения:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 17. Найдите значение выражения:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 18. Найдите значение выражения:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 19. Найдите значение выражения:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 20. Найдите значение выражения:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 21. Найдите значение выражения:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 22. Найдите значение выражения:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 23. Найдите значение выражения:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 24. Найдите значение выражения:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 25. Найдите значение выражения:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 26. Найдите значение выражения:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 27. Найдите значение выражения:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 28. Найдите значение выражения:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 29. Найдите значение выражения:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 30. Найдите значение выражения:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 31. Найдите значение выражения:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 32. Найдите значение выражения:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 33. Найдите значение выражения:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 34. Вынести множитель из-под знака корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 35. Вынести множитель из-под знака корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 36. Вынести множитель из-под знака корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 37. Вынести множитель из-под знака корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 38. Вынести множитель из-под знака корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 39. Вынести множитель из-под знака корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 40. Вынести множитель из-под знака корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 41. Вынести множитель из-под знака корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 42. Вынести множитель из-под знака корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 43. Вынести множитель из-под знака корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 44. Вынести множитель из-под знака корня в следующих выражениях:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 45. Внести множитель под знак корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 46. Внести множитель под знак корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 47. Внести множитель под знак корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 48. Внести множитель под знак корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 49. Внести множитель под знак корня:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 50. Внести множитель под знак корня в следующих выражениях:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 51. Упростить выражение:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 52. Упростить выражение:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 53. Упростить выражение:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 54. Упростить выражение:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 55. Упростить выражение:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 56. Упростить выражение:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 57. Упростить выражение:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 58. Упростить выражение:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 59. Упростить выражение:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Задание 60. Упростить выражение:
Квадратный корень

Решение:
Квадратный корень

Показать решение

Предыдущая

Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
Плохо
0
Хорошо
0
Супер
0
Оценить
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд
Загрузка...
Добавить комментарий