Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Если в квадратном уравнении ax2 + bx = 0 второй коэффициент b является чётным, то решение этого уравнения можно немного упростить. Дискриминант для такого уравнения можно вычислить по формуле D1 = k2 − ac, а корни по формулам Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом и Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

.

Примеры

Решим квадратное уравнение x2 + 6− 16 = 0. В нём второй коэффициент является чётным. Чтобы воспользоваться формулами для чётного коэффициента, нужно сначала узнать чему равна переменная k.

Любое четное число n можно представить в виде произведения числа 2 и числа k, то есть 2k.

n = 2k

Например, число 10 можно представить как 2 × 5.

10 = 2 × 5

В этом произведении = 5.

Число 12 можно представить как 2 × 6.

12 = 2 × 6

В этом произведении = 6.

Число −14 можно представить как 2 × (−7)

В этом произведении = −7.

Как видим, сомножитель 2 не меняется. Меняется только сомножитель k.

В уравнении x2 + 6x − 16 = 0 вторым коэффициентом является число 6. Это число можно представить как 2 × 3. В этом произведении = 3. Теперь можно воспользоваться формулами для чётного коэффициента.

Найдем дискриминант по формуле D1 = k2 − ac

D1 = k2 − ac = 32 − 1 × (−16) = 9 + 16 = 25

Теперь вычислим корни по формулам: Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом и Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом.

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Значит корнями уравнения x2 + 6x − 16 = 0 являются числа 2 и −8.

В отличие от стандартной формулы для вычисления дискриминанта (D=b2 − 4ac), в формуле D1 = k2 − ac не нужно выполнять умножение числа 4 на ac.

И в отличие от формул Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом и Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом формулы Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом и Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.

Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x2 − 6+ 1=0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−3). То есть = −3. Найдём дискриминант по формуле D1 = k2 − ac

D1 = k2 − ac = (−3)2 − 5 × 1 = 9 − 5 = 4

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом и Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Пример 3. Решить квадратное уравнение x2 − 10− 24 = 0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−5). То есть = −5. Найдём дискриминант по формуле D1 = k2 − ac

D1 = k2 − ac = (−5)2 − 1 × (−24) = 25 + 24 = 49

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом и Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.

Действительно, если второй коэффициент b является чётным числом, то его можно представить как b = 2k. Чтобы из этого равенства выразить сомножитель k, нужно произведение b разделить на сомножитель 2

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Пример 5. Решить квадратное уравнение Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Коэффициент b равен Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом. Это выражение состоит из множителя 2 и выражения Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом. То есть оно уже представлено в виде 2k. Получается, что Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Найдём дискриминант по формуле D1 = k2 − ac

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом и Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.

Нужна помощь в подготовке к ЕГЭ по математике? Наши профессиональные репетиторы помогут вам сдать ЕГЭ на 80+ баллов!

В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом.

Вычислим второй корень уравнения:

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Вывод формул

Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение ax2 + bx = 0. Допустим, что коэффициент b является чётным числом. Тогда его можно обозначить как 2k

b = 2k

Заменим в уравнении ax2 + bx = 0 коэффициент b на выражение 2k

ax2 + 2kx = 0

Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:

D = b− 4ac = (2k)2 4ac = 4k− 4ac

Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4

D = b− 4ac = (2k)2 − 4ac = 4k− 4ac = 4(k2 − ac)

Что можно сказать о получившемся дискриминанте? При чётном втором коэффициенте он состоит из множителя 4 и выражения k2 − ac.

В выражении 4(k2 − ac) множитель 4 постоянен. Значит знак дискриминанта зависит от выражения k2 − ac. Если это выражение меньше нуля, то и D будет меньше нуля. Если это выражение больше нуля, то и D будет больше нуля. Если это выражение равно нулю, то и D будет равно нулю.

То есть выражение k2 − ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D1

D1 = k2 − ac

Теперь посмотрим как выводятся формулы Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом и Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом.

В нашем уравнении ax2 + bx = 0 коэффициент b заменён на выражение 2k. Воспользуемся стандартными формулами для вычисления корней. То есть формулами Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом и Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом. Только вместо b будем подставлять 2k. Также на забываем, что D у нас равно выражению 4(k2 − ac)

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Но ранее было сказано, что выражение k2 − ac обозначается через D1. Тогда в наших преобразованиях следует сделать и эту замену:

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Сократим получившуюся дробь на 2

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:
Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Решение:
Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом
Ответ: 1; 0,6

Задание 2. Решить уравнение:
Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Решение:
Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом
Ответ: Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Задание 3. Решить уравнение:
Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Решение:
Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом
Ответ: 1; −1,4

Задание 4. Решить уравнение:
Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Решение:
Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом
Ответ: Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Задание 5. Решить уравнение:
Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Решение:
Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом
Ответ: Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Задание 6. Решить уравнение:
Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Решение:
Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом
Ответ: Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Задание 7. Решить уравнение:
Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Решение:
Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом
Ответ: Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Предыдущая

Следующая
Математика с нуляТеорема Виета
Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
Плохо
0
Хорошо
0
Супер
0
Добавить комментарий

Следи за нами в FaceBook.
Все новые статьи и много уникального!
Спасибо, не показывайте мне эту штуку больше!
Друг, не уходи! Подпишись ВК!
Друг, не уходи!