Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Если из обеих частей уравнения извлечь квадратный корень, то полýчится уравнение равносильное исходному.

Рассмотрим следующее уравнение:

x2 = 16

Это простейшее квадратное уравнение, имеющее два корня: 4 и −4. Такое уравнение мы решали используя определение квадратного корня.

Согласно определению квадратного корня, число b является квадратным корнем из числа a, если b2 = a и обозначается как = √a.

Тогда в случае x2 = 16, можно записать что = √16, откуда = ±4.

Теперь решим данное квадратное уравнение путем извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения.

«Обернём» обе части уравнения x2 = 16 в квадратный корень:

Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Теперь вспоминаем одно из свойств квадратного корня, которое гласит что квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа

Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Тогда в левой части нашего уравнения получим модуль из x, а в правой части число 4

Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Получили простейшее уравнение с модулем. Оно имеет два корня: 4 и −4. Запишем это решение в виде совокупности уравнений:

Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Проверка:

Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Из правой части уравнения x2 = 16 следует извлекать именно арифметический квадратный корень. Ранее мы говорили, что квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное. То есть:

Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Но в данном случае нас интересует именно неотрицательное значение 4 (его и называют арифметическим квадратным корнем). Потому что если мы извлечем и второй корень (отрицательный −4), то получим уравнение |x|= −4 которое не имеет решений.

Пример 2. Решить уравнение 3x2 = 12

Решение

Разделим обе части на 3

Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Извлечём квадратный корень из обеих частей получившегося уравнения:

Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Получили простейшее уравнение с модулем. Решим его, сведя его в совокупность:

Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Ответ: 2 и −2.

Пример 3. Решить уравнение (+ 2)2 = 25

Решение

Извлечём квадратный корень из обеих частей получившегося уравнения:

Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Решим получившееся уравнение с модулем:

Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Ответ: 3 и −7.

Пример 4. Решить уравнение x2 − 10 = 39

Решение

Перенесем −10 в правую часть изменив знак:

Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Извлечём квадратный корень из обеих частей получившегося уравнения:

Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Решим получившееся уравнение с модулем:

Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Ответ: 7 и −7.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:
Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Решение:
Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения
Ответ: 9 и −9.

Задание 2. Решить уравнение:
Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Решение:
Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения
Ответ: 0,4 и −0,4.

Задание 3. Решить уравнение:
Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Решение:
Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения
Ответ: 4 и −4.

Задание 4. Решить уравнение:
Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Решение:
Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения
Ответ: Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения и Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения.

Задание 5. Решить уравнение:
Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Решение:
Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения
Ответ: Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения и Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения.

Предыдущая

Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
Плохо
0
Хорошо
0
Супер
0
Спринт-Олимпик.ру