Решение неравенств с модулем методом интервалов

Если неравенство содержит два и более модуля, его удобнее решать методом интервалов.

Процесс решения неравенств с модулем методом интервалов во многом похож на процесс решения уравнений с модулем методом интервалов.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решить неравенство |7 − x|+|2+ 3|< 16

Решение

Для начала находим такие x, при которых подмодульные выражения 7 − x и 2+ 3 обращаются в ноль. Для этого приравняем эти выражения к нулю и решим простейшие линейные уравнения:

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Отметим числа 7 и  Решение неравенств с модулем методом интервалов на координатной прямой. Мéньшие числа отмечаем левее, бóльшие правее:

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Получили три промежутка: Решение неравенств с модулем методом интервалов  ,  Решение неравенств с модулем методом интервалов и Решение неравенств с модулем методом интервалов Теперь необходимо решить исходное неравенство на каждом из этих промежутков. Надо иметь ввиду, что на каждом из этих промежутков модули исходного неравенства могут раскрываться по-разному.

Решим исходное неравенство на первом промежутке Решение неравенств с модулем методом интервалов

Далее рассуждаем так:

Если Решение неравенств с модулем методом интервалов, то при любом значении на данном промежутке подмодульное выражение 7 − x станет неотрицательным, а значит модуль |7 − x| на промежутке Решение неравенств с модулем методом интервалов будет раскрываться со знаком плюс. Второй модуль |2+ 3| на промежутке Решение неравенств с модулем методом интервалов будет раскрываться со знаком минус.

Тогда в результате раскрытия модулей на промежутке Решение неравенств с модулем методом интервалов исходное неравенство примет вид:

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Решим данное неравенство:

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Итак, сейчас мы рассматриваем промежуток Решение неравенств с модулем методом интервалов. И решив на этом промежутке исходное неравенство мы получили неравенство > −4.

Теперь начинается самое интересное. Надо выяснить выполняется ли неравенство > −4 на промежутке Решение неравенств с модулем методом интервалов. Или задать такой вопрос: «при каких значениях промежутка Решение неравенств с модулем методом интервалов выполняется неравенство > −4»

Для наглядности нарисуем еще одну координатную прямую и изобразим на ней решения неравенства > −4 и Решение неравенств с модулем методом интервалов

Решение неравенств с модулем методом интервалов

На рисунке видно при каких значениях промежутка Решение неравенств с модулем методом интервалов выполняется неравенство > −4. Эти значения лежат в промежутке от −4 до Решение неравенств с модулем методом интервалов

Значит первым нашим решением будет промежуток от −4 до Решение неравенств с модулем методом интервалов

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Решим теперь исходное неравенство на промежутке Решение неравенств с модулем методом интервалов

Если Решение неравенств с модулем методом интервалов, то при любом значении на данном промежутке подмодульное выражение 7 − x станет неотрицательным, а значит модуль |7 − x| на промежутке Решение неравенств с модулем методом интервалов будет раскрываться со знаком плюс. Второй модуль |2+ 3| на промежутке Решение неравенств с модулем методом интервалов тоже будет раскрываться со знаком плюс.

После раскрытия модулей на промежутке Решение неравенств с модулем методом интервалов исходное неравенство примет вид:

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Решим данное неравенство:

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Cейчас мы рассматриваем промежуток Решение неравенств с модулем методом интервалов. И решив на этом промежутке исходное неравенство мы получили неравенство x < 6. Теперь надо выяснить выполняется ли неравенство x < 6 при Решение неравенств с модулем методом интервалов

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Неравенство x < 6 выполняется не на всём промежутке Решение неравенств с модулем методом интервалов, а лишь на промежутке Решение неравенств с модулем методом интервалов до 6. Запишем наше второе решение:

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Решим теперь исходное неравенство на последнем промежутке Решение неравенств с модулем методом интервалов

Если Решение неравенств с модулем методом интервалов, то при любом значении на данном промежутке подмодульное выражение 7 − x станет отрицательным, а значит модуль |7 − x| на промежутке Решение неравенств с модулем методом интервалов будет раскрываться со знаком минус. Второй модуль |2+ 3| на промежутке Решение неравенств с модулем методом интервалов будет раскрываться со знаком плюс.

Тогда в результате раскрытия модулей на промежутке Решение неравенств с модулем методом интервалов исходное неравенство примет вид:

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Решим данное неравенство:

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Cейчас мы рассматриваем промежуток Решение неравенств с модулем методом интервалов. И решив на этом промежутке исходное неравенство мы получили неравенство Решение неравенств с модулем методом интервалов, Теперь надо выяснить выполняется ли неравенство Решение неравенств с модулем методом интервалов при Решение неравенств с модулем методом интервалов

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Мы видим, что неравенство Решение неравенств с модулем методом интервалов не выполняется ни при каких значениях промежутка Решение неравенств с модулем методом интервалов. Это значит, что исходное неравенство на промежутке Решение неравенств с модулем методом интервалов решений не имеет.

Действительно, возьмём любое число из промежутка Решение неравенств с модулем методом интервалов, например, число 9 и подставим его в исходное неравенство. В результате получим неравенство которое не выполняется:

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Теперь нужно собрать воедино ответы, которые мы получили на каждом промежутке. Чтобы сделать это, просто объединим промежутки Решение неравенств с модулем методом интервалов и Решение неравенств с модулем методом интервалов

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Ответ: (−4 ; 6).

Пример 2. Решить неравенство: 3|− 2|+|5− 4| ≤ 10

Решение

Найдём x, при которых подмодульные выражения − 2 и 5− 4 обращаются в ноль. Для этого приравняем эти выражения к нулю и решим простейшие линейные уравнения:

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Отметим числа 2 и Решение неравенств с модулем методом интервалов на координатной прямой:

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Решим исходное неравенство на промежутке Решение неравенств с модулем методом интервалов. Оба модуля на данном промежутке раскрываются с минусом:

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Полученное неравенство ≥ 0 выполняется не на всем промежутке Решение неравенств с модулем методом интервалов, а только на промежутке от 0 до Решение неравенств с модулем методом интервалов

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Решим теперь исходное неравенство на следующем промежутке Решение неравенств с модулем методом интервалов. На данном промежутке модуль|− 2| раскрываются с минусом, а модуль |5− 4| с плюсом:

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Полученное неравенство x ≤ 4 выполняется на всём промежутке Решение неравенств с модулем методом интервалов. Значит на промежутке Решение неравенств с модулем методом интервалов исходное неравенство имеет следующее решение:

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Решим исходное неравенство на следующем промежутке ≥ 2. Оба модуля на данном промежутке раскрываются с плюсом:

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Полученное неравенство Решение неравенств с модулем методом интервалов выполняется не на всем промежутке ≥ 2, а только на промежутке от 2 до Решение неравенств с модулем методом интервалов

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Запишем окончательный ответ. Для этого объединим промежутки Решение неравенств с модулем методом интервалов, Решение неравенств с модулем методом интервалов и Решение неравенств с модулем методом интервалов Решение неравенств с модулем методом интервалов

Ответ: Решение неравенств с модулем методом интервалов.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить неравенство:
Решение неравенств с модулем методом интервалов

Решение:
Решение неравенств с модулем методом интервалов
Ответ: Решение неравенств с модулем методом интервалов.

Задание 2. Решить неравенство:
Решение неравенств с модулем методом интервалов

Решение:
Решение неравенств с модулем методом интервалов
Ответ: решений нет.

Задание 3. Решить неравенство:
Решение неравенств с модулем методом интервалов

Решение:
Решение неравенств с модулем методом интервалов
Ответ: Решение неравенств с модулем методом интервалов.

Задание 4. Решить неравенство:
Решение неравенств с модулем методом интервалов

Решение:
Решение неравенств с модулем методом интервалов
Ответ: Решение неравенств с модулем методом интервалов.

Задание 5. Решить неравенство:
Решение неравенств с модулем методом интервалов

Решение:
Решение неравенств с модулем методом интервалов
Ответ: Решение неравенств с модулем методом интервалов.

Предыдущая

Следующая
Математика с нуляИзвлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
Плохо
0
Хорошо
0
Супер
0
Спринт-Олимпик.ру