Неравенства с модулем

Продолжаем изучать модуль числа. Сегодня мы научимся решать неравенства с модулем.

Чтобы решать неравенства с модулем, нужно прежде всего уметь решать простейшие линейные неравенства, а также знать что такое модуль и как его раскрывать.

Независимо от того, решаем мы уравнение или неравенство, нужно уметь раскрывать модуль.

Рассмотрим к примеру простейшее неравенство с модулем:

|x| > 2

Чтобы решить данное неравенство раскроем его модуль.

Если подмодульное выражение больше или равно нулю, то исходное неравенство примет вид:

> 2

Решением этого неравенства является множество всех чисел, бóльших 2. Отметим их на координатной прямой:

Неравенства с модулем

А если подмодульное выражение меньше нуля, то исходное неравенство примет вид:

x > 2

Умнóжим обе части этого неравенства на −1. Тогда полýчим неравенство < −2. Решением этого неравенства является множество всех чисел, мéньших −2. Отметим эти решения на том же рисунке, где мы отметили решения для неравенства > 2

Неравенства с модулем

Забавно, но получившиеся промежутки < −2 и > 2 являются ответом к нашей задаче. Если в исходное неравенство |x| > 2 подставить какое-нибудь значение x, удовлетворяющее данному неравенству, то это значение будет принадлежать промежутку (−∞ ; −2) или промежутку (2 ; +∞).

То есть решением исходного неравенства является совокупность из < −2 и > 2

Неравенства с модулем

Совокупностью неравенств мы будем называть несколько неравенств, объединённых квадратной скобкой, и которые имеют множество решений, удовлетворяющих хотя бы одному из неравенств, входящих в данную совокупность.

Чтобы записать окончательный ответ, промежутки < −2 и > 2 следует объединить. В математике знаком объединения служит ∪. Тогда:

x ∈ (−∞ ; −2) ∪ (2 ; +∞)

Знак объединения ∪ читается как «или». Тогда запись x ∈ (−∞ ; −2) ∪ (2 ; +∞) можно прочитать так:

Значение переменной x принадлежит промежутку (−∞ ; −2) или промежутку (2 ; +∞)

Действительно, если подставить какое-нибудь значение x, являющееся решением исходного неравенства, то это значение будет принадлежать промежутку (−∞ ; −2) или промежутку (2 ; +∞).

Например, число 3, является решением исходного неравенства |x| > 2

|3| > 2      3 > 2

Значение 3 принадлежит промежутку (2 ; +∞). Также оно удовлетворяет хотя бы одному из неравенств совокупности Неравенства с модулем, а именно неравенству x>2.

Значение −4 тоже является решением исходного неравенства |x| > 2. Это значение принадлежит промежутку (−∞ ; −2)

|−4| > 2        4 > 2

Также значение −4 удовлетворяет хотя бы одному из неравенств совокупности Неравенства с модулем, а именно неравенству < −2.

Согласно определению, модуль числа x есть расстояние от начала координат до точки x. В неравенстве |x| > 2 это расстояние больше чем 2.

Действительно, от начала координат (точка 0) любое расстояние бóльшее двух, будет решением неравенства |x| > 2

Неравенства с модулем

Ответ: x ∈ (−∞ ; −2) ∪ (2 ; +∞)

Обратите внимание, что границы −2 и 2 не включены в соответствующие промежутки. Это потому, что при подстановке этих чисел в исходное неравенство, получается неверное неравенство.

Теперь немного поменяем наш пример. В неравенстве|x| > 2 поменяем знак > на знак <

|x| < 2

Решим это неравенство.

Как и раньше для начала раскрываем модуль. Если подмодульное выражение больше или равно нулю, то получим неравенство < 2. Решениями этого неравенства являются все числа, мéньшие двух. Отметим их:

Неравенства с модулем

А если подмодульное выражение меньше нуля, то получим неравенство −< 2. Умнóжим обе части этого неравенства на −1. Тогда получим неравенство > −2. Решениями этого неравенства являются все числа, бóльшие −2. Отметим эти решения на том же рисунке, где мы отметили решения для неравенства x < 2.

Для наглядности, решения неравенства > −2 отметим красным цветом:

Неравенства с модулем

Если выражение |x| это расстояние от начала координат до точки x, то неравенство |x| < 2 говорит, что это расстояние меньше чем 2. На рисунке видно, что от начала координат расстояния, мéньшие двух, лежат в промежутках от −2 до 0 и от 0 до 2

Неравенства с модулем

А эти расстояния одновременно будут принадлежать промежуткам < 2 и > −2

Неравенства с модулем

Обратите внимание, что в этот раз промежутки обрамлены знáком системы, а не знáком совокупности как в прошлом примере. Это означает, что значения x одновременно удовлетворяют обоим неравенствам (промежуткам < 2 и > −2)

То есть решением неравенства |x| < 2 является пересечение промежутков < 2 и > −2. Напомним, что пересечением двух промежутков является промежуток, состоящий из чисел, которые принадлежат как первому промежутку так и второму:

x ∈  (−2 ; 0) ∩ (0 ; 2)

Знак пересечения ∩ читается как «и». Тогда запись ∈ (−∞ ; 2) ∩ (−2 ; +∞) можно прочитать так:

Значение переменной x одновременно принадлежит промежутку (−∞ ; 2) и промежутку (−2 ; +∞)

Действительно, если подставить какое-нибудь значение x, являющееся решением неравенства |x| < 2, то это значение будет принадлежать одновременно промежутку (−∞ ; 2) и (−2 ; +∞).

Например, число 1 является решением исходного неравенства |x| < 2

|1| < 2      1 < 2

Значение 1 одновременно принадлежит промежутку  (−∞ ; 2) и промежутку (−2 ; +∞)

Неравенства с модулем

Также, значение 1 удовлетворяет обоим неравенствам системы Неравенства с модулем

А если к примеру подставить значение, не являющееся решением неравенства |x| < 2, то это значение не будет одновременно принадлежать промежуткам (−∞ ; 2) и (−2 ; +∞). Например, значение 7

|7| < 2      7 < 2

Несмотря на то, что значение 7 принадлежит одному из промежутков, а именно промежутку (−2 ; +∞), данное значение не является решением исходного неравенства, поскольку оно не удовлетворяет ему. Также, данное значение не принадлежит одновременно обоим промежуткам: (−∞ ; 2) и (−2 ; +∞).

Для неравенства |x| < 2 ответ можно записать покороче:

x ∈ (−2 ; 2)

Из рассмотренных примеров видно, что решением неравенства с модулем может быть либо объединение промежутков либо их пересечение.

В первом примере мы решили неравенство |x| > 2, то есть неравенство вида |x| > a. Это неравенство при котором модуль больше какого-нибудь числа или буквенного выражения. Решением такого неравенства является объединение решений неравенств, получающихся после раскрытия модуля исходного неравенства. Неравенства, получающиеся после раскрытия модуля, следует записывать в виде совокупности:

Неравенства с модулем

Совокупность свóдится потому, что итоговые решения будут удовлетворять хотя бы одному из неравенств, полученных после раскрытия модуля исходного неравенства.

Во втором примере мы решили неравенство |x| < 2, то есть неравенство вида |x| < a. От предыдущего неравенства оно отличается только знáком. Но это неравенство при котором модуль меньше какого-нибудь числа или буквенного выражения. Решением такого неравенства является пересечение решений неравенств, получающихся после раскрытия модуля исходного неравенства. Неравенства, получающиеся после раскрытия модуля, следует записывать в виде системы:

Неравенства с модулем

Система записывается потому, что итоговые решения будут удовлетворять обоим неравенствам, полученным после раскрытия модуля исходного неравенства.

Эти же правила сохраняются и для неравенств, содержащих знаки ≥ и ≤

Например, решим неравенство |x| ≥ 1. Модуль больше или равен числу. Поэтому решением будет объединение решений неравенств, которые получатся после раскрытия модуля. После раскрытия модуля и выполнения необходимых тождественных преобразований, получим совокупность неравенств  1 и  −1

Неравенства с модулем

Неравенства с модулем

Решением служит объединение промежутков  −1 и  1

x ∈ (−∞ ; −1] ∪ [1 ; +∞)

Обратите внимание, что границы −1 и 1 включены в соответствующие промежутки. Это потому что при подстановке этих чисел в исходное неравенство, получается верное неравенство.

Решим теперь к примеру неравенство |x|  1. Модуль меньше или равен числу. Поэтому решением будет пересечение решений неравенств, которые получатся после раскрытия модуля. После раскрытия модуля и выполнения необходимых тождественных преобразований, получим систему неравенства:  1 и  −1

Неравенства с модулем

Неравенства с модулем

Решением служит пересечение промежутков  1 и  −1

x ∈ (−∞ ; 1] ∩ [−1 ; +∞)

или покороче:

x ∈ [−1 ; 1]

Обратите внимание, что границы −1 и 1 включены в соответствующие промежутки. Это потому что при подстановке этих чисел в исходное неравенство, получается верное неравенство.

Аналогично решаются неравенства, в левой части которого модуль, а справа не просто число, а буквенное выражение.

Пример 4. Решить неравенство |7 6| < + 12

Решение

Для начала раскроем модуль. Вспоминаем, что если неравенство содержит знак < или ≤, то неравенства получившиеся после раскрытия модуля, следует записать в виде системы. Это будет означать, что итоговые решения будут удовлетворять обоим неравенствам.

Итак, после раскрытия модуля получим следующую систему:

Неравенства с модулем

В данном случае система содержит не совсем элементарные неравенства как в прошлых примерах. Данные неравенства следует упростить, используя известные тождественные преобразования.

Раскроем скобки во втором неравенстве. Тогда получим следующую систему:

Неравенства с модулем

В обоих неравенствах выражения, содержащие неизвестные, перенесём в левую часть, а числовые выражения — в правую. Затем приведём подобные слагаемые. Тогда получим систему:

Неравенства с модулем

В первом неравенстве разделим обе части на 6. Во втором неравенстве разделим обе части на −8. Тогда получим окончательную систему:

Неравенства с модулем

Изобразим решения на координатной прямой:

Неравенства с модулем

Решением является пересечение промежутков (−∞ ; 3) и Неравенства с модулем, то есть промежуток Неравенства с модулем

Неравенства с модулем

Ответ: Неравенства с модулем

Пример 5. Решить неравенство |1 − 2x| ≥ 4 − 5x

Решение

Для начала раскроем модуль. Вспоминаем, что если неравенство содержит знак > или ≥, то неравенства получившиеся после раскрытия модуля, следует записать в виде совокупности:

После раскрытия модуля получим следующую совокупность:

Неравенства с модулем

Выполним необходимые тождественные преобразования в обоих неравенствах. В результате получим:

Неравенства с модулем

Изобразим решения на координатной прямой:

Неравенства с модулем

Решением является объединение промежутков Неравенства с модулем и [1 ; +∞), то есть промежуток Неравенства с модулем

Неравенства с модулем

Ответ: Неравенства с модулем.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить неравенство:
Неравенства с модулем

Решение:
Неравенства с модулем
Ответ: x ∈ (−36 ; 36).

Задание 2. Решить неравенство:
Неравенства с модулем

Решение:
Неравенства с модулем
Ответ: x ∈ (−∞ ; −2) ∪ (2 ; +∞).

Задание 3. Решить неравенство:
Неравенства с модулем

Решение:
Неравенства с модулем
Ответ: Неравенства с модулем

Задание 4. Решить неравенство:
Неравенства с модулем

Решение:
Неравенства с модулем
Ответ: x ∈ [−5 ; 2]

Задание 5. Решить неравенство:
Неравенства с модулем

Решение:
Неравенства с модулем
Ответ: x ∈ (−∞ ; 0)

Задание 6. Решить неравенство:
Неравенства с модулем

Решение:
Неравенства с модулем
Ответ: Неравенства с модулем

Предыдущая

Следующая
Математика с нуляРешение неравенств с модулем методом интервалов

Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
Плохо
0
Хорошо
0
Супер
0
Спринт-Олимпик.ру