Умножение и деление рациональных чисел

В данном уроке рассматривается умножение и деление рациональных чисел.

Умножение рациональных чисел

Правила умножения целых чисел справедливы и для рациональных чисел. Иными словами, чтобы умножать рациональные числа, нужно уметь умножать целые числа.

Также, необходимо знать основные законы умножения, такие как: переместительный закон умножения, сочетательный закон умножения, распределительный закон умножения и умножение на ноль.

Пример 1. Найти значение выражения Умножение и деление рациональных чисел

Это умножение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы перемножить рациональные числа с разными знаками, нужно перемножить их модули и перед полученным ответом поставить минус.

Чтобы хорошо увидеть, что мы имеем дело с числами, у которых разные знаки, заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками

Умножение и деление рациональных чисел

Модуль числа Умножение и деление рациональных чисел равен Умножение и деление рациональных чисел, а модуль числа Умножение и деление рациональных чисел равен Умножение и деление рациональных чисел . Перемножив полученные модули, как положительные дроби, мы получили ответ Умножение и деление рациональных чисел , но перед ответом поставили минус, как от нас требовало правило. Чтобы обеспечить перед ответом этот минус, умножение модулей выполнялось в скобках, перед которыми и поставлен минус.

Таким образом, значение выражения Умножение и деление рациональных чисел  равно Умножение и деление рациональных чисел

Короткое решение выглядит следующим образом:

Умножение и деление рациональных чисел

Пример 2. Найти значение выражения  Умножение и деление рациональных чисел

Это умножение рациональных чисел с разными знаками. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:

Умножение и деление рациональных чисел

Решение для данного примера можно записать покороче:

Умножение и деление рациональных чисел

Пример 3. Найти значение выражения Умножение и деление рациональных чисел

Это умножение отрицательных рациональных чисел. Чтобы перемножить отрицательные рациональные числа, нужно перемножить их модули и перед полученным ответом поставить плюс

Умножение и деление рациональных чисел

Решение для данного примера можно записать покороче:

Умножение и деление рациональных чисел

Пример 4. Найти значение выражения Умножение и деление рациональных чисел

Это умножение отрицательных рациональных чисел. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим плюс

Умножение и деление рациональных чисел

Решение для данного примера можно записать покороче:

Умножение и деление рациональных чисел

Пример 5. Найти значение выражения Умножение и деление рациональных чисел

Это умножение рациональных чисел с разными знаками. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус

Умножение и деление рациональных чисел

Короткое решение будет выглядеть значительно проще:

Умножение и деление рациональных чисел

Пример 6. Найти значение выражения Умножение и деление рациональных чисел

Переведём смешанное число Умножение и деление рациональных чисел в неправильную дробь. Остальное перепишем, как есть

Умножение и деление рациональных чисел

Получили умножение рациональных чисел с разными знаками. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

Умножение и деление рациональных чисел

Решение для данного примера можно записать покороче

Умножение и деление рациональных чисел

Пример 7. Найти значение выражения  Умножение и деление рациональных чисел

Это умножение рациональных чисел с разными знаками. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус

Умножение и деление рациональных чисел

Сначала в ответе получилась неправильная дробь Умножение и деление рациональных чисел, но мы выделили в ней целую часть. Обратите внимание, что целая часть была выделена от модуля дроби Умножение и деление рациональных чисел. Получившееся смешанное число Умножение и деление рациональных чисел было заключено в скобки, перед которыми поставлен минус. Это сделано для того, чтобы выполнялось требование правила. А правило требовало, чтобы перед полученным ответом стоял минус.

Решение для данного примера можно записать покороче:

Умножение и деление рациональных чисел

Пример 8. Найти значение выражения Умножение и деление рациональных чисел

Выражение состоит из нескольких сомножителей. Согласно сочетательному закону умножения, если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий. Это позволяет нам вычислить данное выражение в любом порядке.

Сначала перемножим  Умножение и деление рациональных чисел  и Умножение и деление рациональных чисел и полученное число перемножим с оставшимся числом 5. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражение.

Первое действие:

Умножение и деление рациональных чисел

Второе действие:

Умножение и деление рациональных чисел

Ответ: значение выражения Умножение и деление рациональных чисел равно −2.

Пример 9. Найти значение выражения: Умножение и деление рациональных чисел

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Умножение и деление рациональных чисел

Получили умножение отрицательных рациональных чисел. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим плюс. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

Умножение и деление рациональных чисел

Пример 10. Найти значение выражения

Умножение и деление рациональных чисел

Выражение состоит из нескольких сомножителей. Согласно сочетательному закону умножения, если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий. Это позволяет нам вычислить данное выражение в любом порядке.

Не будем изобретать велосипед, а вычислим данное выражение слева направо в порядке следования сомножителей. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражение

Первое действие:

Умножение и деление рациональных чисел

Второе действие:

Умножение и деление рациональных чисел

Третье действие:

Умножение и деление рациональных чисел

Четвёртое действие:

Умножение и деление рациональных чисел

Ответ: значение выражения Умножение и деление рациональных чисел равно Умножение и деление рациональных чисел

Пример 11. Найти значение выражения Умножение и деление рациональных чисел

Вспоминаем закон умножения на ноль. Этот закон гласит, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

В нашем примере один из сомножителей равен нулю, поэтому не теряя времени отвечаем, что значение выражения Умножение и деление рациональных чисел равно нулю:

Умножение и деление рациональных чисел

Пример 12. Найти значение выражения Умножение и деление рациональных чисел

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

В нашем примере один из сомножителей равен нулю, поэтому не теряя времени отвечаем, что значение выражения Умножение и деление рациональных чисел равно нулю:

Умножение и деление рациональных чисел

Пример 13. Найти значение выражения Умножение и деление рациональных чисел

Можно воспользоваться порядком действий и сначала вычислить выражение в скобках Умножение и деление рациональных чисел и полученный ответ перемножить с дробью Умножение и деление рациональных чисел .

Ещё можно воспользоваться распределительным законом умножения — умножить каждое слагаемое суммы Умножение и деление рациональных чисел на дробь Умножение и деление рациональных чисел и полученные результаты сложить. Этим способом и воспользуемся.

Умножение и деление рациональных чисел

Согласно порядку действий, если в выражении присутствует сложение и умножение, то в первую очередь нужно выполнять умножение. Поэтому в получившемся новом выражении возьмём в скобки те параметры, которые должны быть перемножены. Так мы хорошо увидим, какие действия выполнить раньше, а какие позже:

Умножение и деление рациональных чисел

Далее вычисляем выражение по действиям. Сначала вычислим выражения в скобках, и полученные результаты сложим

Первое действие:

Умножение и деление рациональных чисел

Второе действие:

Умножение и деление рациональных чисел

Третье действие:

Умножение и деление рациональных чисел

Ответ: значение выражения Умножение и деление рациональных чисел  равно  Умножение и деление рациональных чисел

Решение для данного примера можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:

Умножение и деление рациональных чисел

Видно, что данный пример можно было решить даже в уме. Поэтому следует развивать в себе навык анализа выражения до начала его решения. Вполне вероятно, что его можно решить в уме и сэкономить много времени и нервов. А на контрольных и экзаменах, как известно время очень дорого стоит.

Пример 14. Найти значение выражения −4,2 × 3,2

Это умножение рациональных чисел с разными знаками. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус

Умножение и деление рациональных чисел

Обратите внимание, как перемножались модули рациональных чисел. В данном случае, чтобы перемножить модули рациональных чисел, потребовалось суметь перемножить десятичные дроби.

 

Пример 15. Найти значение выражения −0,15 × 4

Это умножение рациональных чисел с разными знаками. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус

Умножение и деление рациональных чисел

Обратите внимание, как перемножались модули рациональных чисел. В данном случае, чтобы перемножить модули рациональных чисел, потребовалось суметь перемножить десятичную дробь и целое число.

Пример 16. Найти значение выражения −4,2 × (−7,5)

Это умножение отрицательных рациональных чисел. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим плюс

Умножение и деление рациональных чисел

Деление рациональных чисел

Правила деления целых чисел справедливы и для рациональных чисел. Иными словами, чтобы уметь делить рациональные числа, нужно уметь делить целые числа.

В остальном же применяются те же методы деления обыкновенных и десятичных дробей. Чтобы разделить обыкновенную дробь на другую дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

А чтобы разделить десятичную дробь на другую десятичную дробь, нужно в делимом и в делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, затем выполнить деление, как на обычное число.

Пример 1. Найти значение выражения: Умножение и деление рациональных чисел

Это деление рациональных чисел с разными знаками. Чтобы вычислить такое выражение, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Итак, умножим первую дробь на дробь обратную второй. Обратная для второй дроби это дробь Умножение и деление рациональных чисел. На неё и умножим первую дробь:

Умножение и деление рациональных чисел

Получили умножение рациональных чисел с разными знаками. А как вычислять такие выражения мы уже знаем. Для этого нужно перемножить модули этих рациональных чисел и перед полученным ответом поставить минус.

Дорешаем данный пример до конца. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

Умножение и деление рациональных чисел

Таким образом, значение выражения Умножение и деление рациональных чисел  равно  Умножение и деление рациональных чисел

Нужна помощь в подготовке к ЕГЭ по математике? Наши профессиональные репетиторы помогут вам сдать ЕГЭ на 80+ баллов!

Подробное решение выглядит следующим образом:

Умножение и деление рациональных чисел

Короткое решение будет выглядеть так:

Умножение и деление рациональных чисел

Пример 2. Найти значение выражения  Умножение и деление рациональных чисел

Это деление рациональных чисел с разными знаками. Чтобы вычислить данное выражение, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Обратная для второй дроби это дробь Умножение и деление рациональных чисел. На неё и умножим первую дробь:

Умножение и деление рациональных чисел

Короткое решение будет выглядеть следующим образом:

Умножение и деление рациональных чисел

Пример 3. Найти значение выражения Умножение и деление рациональных чисел

Это деление отрицательных рациональных чисел. Чтобы вычислить данное выражение, опять же нужно первую дробь умножить на дробь обратную второй.

Обратная для второй дроби это дробь Умножение и деление рациональных чисел. На неё и умножим первую дробь:

Умножение и деление рациональных чисел

Получили умножение отрицательных рациональных чисел. Как вычисляется подобное выражение мы уже знаем. Нужно перемножить модули рациональных чисел и перед полученным ответом поставить плюс.

Дорешаем этот пример до конца. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

Умножение и деление рациональных чисел

Пример 4. Найти значение выражения Умножение и деление рациональных чисел

Чтобы вычислить данное выражение, нужно первое число −3 умножить на дробь, обратную дроби Умножение и деление рациональных чисел .

Обратная для дроби Умножение и деление рациональных чисел это дробь Умножение и деление рациональных чисел. На неё и умножим первое число −3

Умножение и деление рациональных чисел

Пример 6. Найти значение выражения Умножение и деление рациональных чисел

Чтобы вычислить данное выражение, нужно первую дробь умножить на число, обратное числу 4.

Обратное для числа 4 это дробь Умножение и деление рациональных чисел. На неё и умножим первую дробь Умножение и деление рациональных чисел

Умножение и деление рациональных чисел

Пример 5. Найти значение выражения Умножение и деление рациональных чисел

Чтобы вычислить данное выражение, нужно первую дробь умножить на число, обратное числу −3

Обратное для числа −3 это дробь Умножение и деление рациональных чисел. На неё и умножим первую дробь:

Умножение и деление рациональных чисел

Пример 6. Найти значение выражение −14,4 : 1,8

Это деление рациональных чисел с разными знаками. Чтобы вычислить данное выражение, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным ответом поставить минус

Умножение и деление рациональных чисел

Обратите внимание, как модуль делимого был разделён на модуль делителя. В данном случае, чтобы сделать это правильно, потребовалось суметь разделить десятичную дробь на другую десятичную дробь.

Если нет желания возиться с десятичными дробями (а это бывает часто), то эти десятичные дроби можно перевести в смешанные числа, затем перевести эти смешанные числа в неправильные дроби, а затем заняться непосредственно делением.

Вычислим предыдущее выражение −14,4 : 1,8 этим способом. Переведём десятичные дроби в смешанные числа:

Умножение и деление рациональных чисел

Умножение и деление рациональных чисел

Теперь переведём полученные смешанные числа в неправильные дроби:

Умножение и деление рациональных чисел

Умножение и деление рациональных чисел

Теперь можно заняться непосредственно делением, а именно разделить дробь  Умножение и деление рациональных чисел  на дробь  Умножение и деление рациональных чисел. Для этого нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

Умножение и деление рациональных чисел

Пример 7. Найти значение выражения Умножение и деление рациональных чисел

Переведём десятичную дробь −2,06 в неправильную дробь, и умножим эту дробь на дробь, обратную второй:

Умножение и деление рациональных чисел

Многоэтажные дроби

Часто можно встретить выражение, в котором деление дробей записано с помощью дробной черты. Например, выражение Умножение и деление рациональных чисел  может быть записано следующим образом:

Умножение и деление рациональных чисел

В чём же разница между выражениями Умножение и деление рациональных чисел  и   Умножение и деление рациональных чисел ? На самом деле разницы никакой. Эти два выражения несут одно и то же значение и между ними можно поставить знак равенства:

Умножение и деление рациональных чисел

В первом случае знак деления представляет собой двоеточие и выражение записано в одну строку. Во втором случае деление дробей записано с помощью дробной черты. В результате получается дробь, которую в народе договорились называть многоэтажной.

При встрече с такими многоэтажными выражениями, нужно применять те же правила деления обыкновенных дробей. Первую дробь необходимо умножать на дробь, обратную второй.

Использовать в решении подобные дроби крайне неудобно, поэтому можно записать их в понятном виде, используя в качестве знака деления не дробную черту, а двоеточие.

Например, запишем многоэтажную дробь Умножение и деление рациональных чисел в понятном виде. Для этого сначала нужно разобраться, где первая дробь и где вторая, потому что сделать это правильно удаётся не всегда. В многоэтажных дробях имеется несколько дробных черт, которые могут запутать. Главная дробная черта, которая отделяет первую дробь от второй, обычно бывает длиннее остальных.

После определения главной дробной черты можно без труда понять, где первая дробь и где вторая:

Умножение и деление рациональных чисел

И далее можно воспользоваться методом деления дробей — умножить первую дробь на дробь, обратную второй.

Пример 2. Запишем в понятном виде многоэтажную дробь Умножение и деление рациональных чисел

Находим главную дробную черту (она самая длинная) и видим, что осуществляется деление целого числа −3 на обыкновенную дробь Умножение и деление рациональных чисел

Умножение и деление рациональных чисел

А если бы мы по ошибке приняли вторую дробную черту за главную (ту, что короче), то получилось бы, что мы делим дробь Умножение и деление рациональных чисел  на целое число 5Умножение и деление рациональных чиселВ этом случае, даже если это выражение вычислить верно, задача будет решена неправильно, поскольку делимым в данном случае является число −3, а делителем — дробь Умножение и деление рациональных чисел.

Пример 3. Запишем в понятном виде многоэтажную дробь Умножение и деление рациональных чисел

Находим главную дробную черту (она самая длинная) и видим, что осуществляется деление дроби Умножение и деление рациональных чисел на целое число 2

Умножение и деление рациональных чисел

А если бы мы по ошибке приняли первую дробную черту за главную (ту, что короче), то получилось бы, что мы делим целое число −5 на дробь Умножение и деление рациональных чиселУмножение и деление рациональных чиселВ этом случае, даже если это выражение вычислить верно, задача будет решена неправильно, поскольку делимым в данном случае является дробь Умножение и деление рациональных чисел, а делителем — целое число 2.

Несмотря на то, что многоэтажные дроби неудобны в работе, сталкиваться мы с ними будем очень часто, особенно при изучении высшей математики.

Естественно, на перевод многоэтажной дроби в понятный вид уходит дополнительное время и место. Поэтому можно воспользоваться более быстрым методом. Данный метод удобен и на выходе позволяет получить готовое выражение, в котором первая дробь уже умножена на дробь, обратную второй.

Реализуется этот метод следующим образом:

Если дробь четырехэтажная, например как  Умножение и деление рациональных чисел , то цифру находящуюся на первом этаже поднимают на самый верхний этаж. А цифру, находящуюся на втором этаже поднимают на третий этаж. Полученные цифры нужно соединить значками умножения ( × )

Умножение и деление рациональных чисел

В результате, минуя промежуточную запись Умножение и деление рациональных чисел мы получаем новое выражение Умножение и деление рациональных чисел , в котором первая дробь уже умножена на дробь, обратную второй. Удобство да и только!

Чтобы не допускать ошибок при использовании данного метода, можно руководствоваться следующим правилом:

С первого на четвёртый. Со второго на третий.

В правиле речь идет об этажах. Цифру с первого этажа нужно поднимать на четвертый этаж. А цифру со второго этажа нужно поднимать на третий этаж.

Попробуем вычислить многоэтажную дробь  Умножение и деление рациональных чисел пользуясь вышеприведённым правилом.

Итак, цифру находящуюся на первом этаже поднимаем на четвёртый этаж, а цифру находящуюся на втором этаже поднимаем на третий этаж

Умножение и деление рациональных чисел

В результате, минуя промежуточную запись Умножение и деление рациональных чисел мы получаем новое выражение Умножение и деление рациональных чисел , в котором первая дробь уже умножена на дробь, обратной второй. Далее можно воспользоваться имеющимися знаниями:

Умножение и деление рациональных чисел

Умножение и деление рациональных чисел

Попробуем вычислить многоэтажную дробь Умножение и деление рациональных чисел пользуясь новой схемой.

Здесь имеется только первый, второй и четвёртый этажи. Третий этаж отсутствует. Но мы не отходим от основной схемы: цифру с первого этажа поднимаем на четвёртый этаж. А поскольку третий этаж отсутствует, то цифру находящуюся на втором этаже оставляем, как есть

Умножение и деление рациональных чисел

В результате, минуя промежуточную запись Умножение и деление рациональных чисел мы получили новое выражение Умножение и деление рациональных чисел , в котором первое число −3 уже умножено на дробь, обратную второй. Далее можно воспользоваться имеющимися знаниями:

Умножение и деление рациональных чисел

Умножение и деление рациональных чисел

Попробуем вычислить многоэтажную дробь Умножение и деление рациональных чисел, пользуясь новой схемой.

Здесь имеется только второй, третий и четвёртый этажи. Первый этаж отсутствует. Поскольку первый этаж отсутствует, подниматься на четвёртый этаж нечему, но зато мы можем поднять цифру со второго этажа на третий:

Умножение и деление рациональных чисел

В результате, минуя промежуточную запись Умножение и деление рациональных чисел мы получили новое выражение Умножение и деление рациональных чисел , в котором первая дробь уже умножена на число, обратное делителю. Далее можно воспользоваться имеющимися знаниями:

Умножение и деление рациональных чисел

Использование переменных

Если выражение сложное и вам кажется, что оно запутает вас в процессе решения задачи, то часть выражения можно занести в переменную и далее работать с этой переменной.

Математики часто так и делают. Сложную задачу разбивают на более лёгкие подзадачи и решают их. Затем собирают решённые подзадачи в одно единое целое. Это творческий процесс и этому учатся годами, упорно тренируясь.

Использование переменных оправдано, при работе с многоэтажными дробями. Например:

Найти значение выражения  Умножение и деление рациональных чисел

Итак, имеется дробное выражение в числителе и в знаменателе котором дробные выражения. Другими словами, перед нами снова многоэтажная дробь, которую мы так не любим.

Выражение, находящееся в числителе Умножение и деление рациональных чисел можно занести в переменную с любым названием, например:

Умножение и деление рациональных чисел

Но в математике в подобном случае переменным принято давать название из больших латинских букв. Давайте не будем нарушать эту традицию, и обозначим первое выражение через большую латинскую букву A

Умножение и деление рациональных чисел

А выражение, находящееся в знаменателе  Умножение и деление рациональных чисел  можно обозначить через большую латинскую букву B

Умножение и деление рациональных чисел

Теперь наше изначальное выражение  Умножение и деление рациональных чисел  принимает вид  Умножение и деление рациональных чисел. То есть мы сделали замену числового выражения на буквенное, предварительно занеся числитель и знаменатель в переменные A и B.

Теперь мы можем отдельно вычислить значения переменной A и значение переменной B. Готовые значения мы вставим в выражение  Умножение и деление рациональных чисел.

Найдём значение переменной A

Умножение и деление рациональных чисел

Умножение и деление рациональных чисел

Найдём значение переменной B

Умножение и деление рациональных чисел

Умножение и деление рациональных чисел

Теперь подставим в главное выражения  Умножение и деление рациональных чисел  вместо переменных A и B их значения:

Умножение и деление рациональных чисел

Мы получили многоэтажную дробь в которой можно воспользоваться схемой «с первого на четвёртый, со второго на третий», то есть цифру находящуюся на первом этаже поднять на четвёртый этаж, а цифру находящуюся на втором этаже поднять на третий этаж. Дальнейшее вычисление не составит особого труда:

Умножение и деление рациональных чисел

Таким образом, значение выражения  Умножение и деление рациональных чисел  равно −1.

Конечно, мы рассмотрели простейший пример, но нашей целью было узнать, как можно использовать переменные для облегчения себе задачи, чтобы свести к минимуму допущение ошибок.

Отметим также, что решение для данного примера можно записать не применяя переменные. Выглядеть оно будет как

Умножение и деление рациональных чисел

Это решение более быстрое и короткое и в данном случае его целесообразнее так и записать, но если выражение окажется сложным, состоящим из нескольких параметров, скобок, корней и степеней, то желательно вычислять его в несколько этапов, занося часть его выражений в переменные.

Предыдущая

Следующая
Математика с нуляДополнительные сведения о дробях
Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
Плохо
0
Хорошо
0
Супер
0
Мы в ВК, подпишись на нас!

Подпишись на нашу группу в ВКонтакте, чтобы быть в курсе выхода нового материала...

Вступить