Сравнение рациональных чисел

Продолжаем изучать рациональные числа. В данном уроке мы научимся сравнивать их.

Из предыдущих уроков мы узнали, что чем правее число располагается на координатной прямой, тем оно больше. И соответственно, чем левее располагается число на координатной прямой, тем оно меньше.

Например, если сравнивать числа 4 и 1, то можно сразу ответить, что 4 больше чем 1. Это вполне логичное утверждение и каждый с этим согласится.

В качестве доказательства можно привести координатную прямую. На ней видно, что четвёрка лежит правее единицы

Сравнение рациональных чисел

4 > 1

Для этого случая есть и правило, которое при желании можно использовать. Выглядит оно следующим образом:

Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.

Чтобы ответить на вопрос какое число больше, а какое меньше, сначала нужно найти модули этих чисел, сравнить эти модули, а потом уже ответить на вопрос.

Например, сравним те же числа 4 и 1, применяя вышеприведенное  правило

Находим модули чисел:

|4| = 4

|1| = 1

Сравниваем найденные модули:

4 > 1

Отвечаем на вопрос:

4 > 1

Для отрицательных чисел существует другое правило, выглядит оно следующим образом:

Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Например, сравним числа −3 и −1

Находим модули чисел

|−3| = 3

|−1| = 1

Сравниваем найденные модули:

3 > 1

Отвечаем на вопрос:

−3 < −1

Нельзя путать модуль числа с самим числом. Частая ошибка многих новичков. К примеру, если модуль числа −3 больше, чем модуль числа −1, это не означает, что число −3 больше, чем число −1.

Число −3 меньше, чем число −1. Это можно понять, если воспользоваться координатной прямой

Сравнение рациональных чисел

Видно, что число −3 лежит левее, чем −1. А мы знаем, что чем левее, тем меньше.

Если сравнивать отрицательное число с положительным, то ответ будет напрашиваться сам. Любое отрицательное число будет меньше любого положительного числа. Например, −4 меньше, чем 2

−4 < 2

Сравнение рациональных чисел

Видно, что −4 лежит левее, чем 2. А мы знаем, что «чем левее, тем меньше».

Здесь в первую очередь нужно смотреть на знаки чисел. Минус перед числом будет говорить о том, что число отрицательное. Если знак числа отсутствует, то число положительное, но вы можете записать его для наглядности. Напомним, что это знак плюса

−4 < +2

Мы рассмотрели в качестве примера целые числа, вида −4, −3 −1, 2. Сравнить такие числа, а также изобразить на координатной прямой не составляет особого труда.

Намного сложнее сравнивать другие виды чисел, такие как обыкновенные дроби, смешанные числа и десятичные дроби, некоторые из которых являются отрицательными. Здесь уже в основном придётся применять правила, потому что точно изобразить такие числа на координатной прямой не всегда возможно. В некоторых случаях, число надо будет видоизменять, чтобы сделать его более простым для сравнения и восприятия.

Пример 1. Сравнить рациональные числа Сравнение рациональных чисел

Итак, требуется сравнить отрицательное число с положительным. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что  Сравнение рациональных чисел  меньше, чем Сравнение рациональных чисел

Сравнение рациональных чисел

Пример 2. Сравнить рациональные числа Сравнение рациональных чисел  и  Сравнение рациональных чисел

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравнение рациональных чисел

Сравнение рациональных чисел

Сравниваем найденные модули:

Сравнение рациональных чисел

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное Сравнение рациональных чисел больше, чем Сравнение рациональных чисел , потому что модуль числа Сравнение рациональных чисел меньше, чем модуль числа Сравнение рациональных чисел

Сравнение рациональных чисел

Пример 3. Сравнить числа 2,34 и Сравнение рациональных чисел

Требуется сравнить положительное число с отрицательным. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что 2,34  больше, чем Сравнение рациональных чисел

2,35 > Сравнение рациональных чисел

Пример 4. Сравнить рациональные числа Сравнение рациональных чисел  и Сравнение рациональных чисел

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравнение рациональных чисел

Сравнение рациональных чисел

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём в неправильные дроби и приведём к общему знаменателю

Сравнение рациональных чисел

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное Сравнение рациональных чисел больше, чем Сравнение рациональных чисел , потому что модуль числа Сравнение рациональных чисел меньше, чем модуль числа Сравнение рациональных чисел

Сравнение рациональных чисел

Пример 5. Сравнить рациональные числа 0 и Сравнение рациональных чисел

Требуется сравнить ноль с отрицательным числом. Ноль больше любого отрицательного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 больше, чем Сравнение рациональных чисел

Нужна помощь в подготовке к ЕГЭ по математике? Наши профессиональные репетиторы помогут вам сдать ЕГЭ на 80+ баллов!

Сравнение рациональных чисел

Пример 6. Сравнить рациональные числа 0 и  Сравнение рациональных чисел

Требуется сравнить ноль с положительным числом. Ноль меньше любого положительного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 меньше, чем Сравнение рациональных чисел

Сравнение рациональных чисел

Пример 7. Сравнить рациональные числа 4,53 и 4,403

Требуется сравнить два положительных числа. Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.

Сделаем в обеих дробях количество цифр после запятой одинаковым. Для этого в дроби 4,53 припишем в конце один ноль

4,530

Далее применим правило сравнения положительных чисел.

Находим модули чисел

|4,530| = 4,530

|4,403| = 4,403

Сравниваем найденные модули:

Сравнение рациональных чисел

Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число 4,53 больше, чем 4,403 потому что модуль числа 4,53 больше, чем модуль числа 4,403

4,53 > 4,403

Пример 8. Сравнить рациональные числа Сравнение рациональных чисел  и Сравнение рациональных чисел

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравнение рациональных чисел

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём смешанное число Сравнение рациональных чисел в неправильную дробь, затем приведём обе дроби к общему знаменателю:

Сравнение рациональных чисел

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное Сравнение рациональных чисел больше, чем Сравнение рациональных чисел , потому что модуль числа Сравнение рациональных чисел меньше, чем модуль числа Сравнение рациональных чисел

Сравнение рациональных чисел

Сравнивать десятичные дроби намного проще, чем обыкновенные дроби и смешанные числа. В некоторых случаях, посмотрев на целую часть такой дроби, можно сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше.

Чтобы сделать это, нужно сравнить модули целых частей. Это позволит быстро ответить на вопрос в задаче. Ведь как известно, целые части в десятичных дробях имеют вес больший, чем дробные.

Пример 9. Сравнить рациональные числа 15,4 и 2,1256

Модуль целой части дроби 15,4 больше, чем модуль целой части дроби 2,1256

|15| = 15

|2| = 2

15 > 2

поэтому и дробь 15,4 больше, чем дробь 2,1256

15,4 > 2,1256

Другими словами, нам не пришлось тратить время на дописывание нулей дроби 15,4 и сравнивать получившиеся дроби, как обычные числа

15,4000   2,1256

154000 > 21256

Правила сравнения остаются всё теми же. В нашем случае мы сравнивали положительные числа.

Пример 10. Сравнить рациональные числа −15,2 и −0,152

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей

|−15| = 15

|−0| = 0

15 > 0

Видим, что модуль целой части дроби −15,2 больше, чем модуль целой части дроби −0,152.

А значит рациональное −0,152 больше, чем −15,2 потому что модуль целой части числа −0,152 меньше, чем модуль целой части числа −15,2

 −0,152 > −15,2

Пример 11. Сравнить рациональные числа −3,4 и −3,7

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей. Но проблема в том, что модули целых чисел равны:

|−3| = 3

|−3| = 3

3 = 3

В этом случае придётся пользоваться старым методом: найти модули рациональных чисел и сравнить эти модули

|−3,4| = 3,4

|−3,7| = 3,7

Сравниваем найденные модули:

Сравнение рациональных чисел

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное −3,4 больше, чем −3,7 потому что модуль числа −3,4 меньше, чем модуль числа −3,7

−3,4 > −3,7

Пример 12. Сравнить рациональные числа 0,(3) и  Сравнение рациональных чисел

Требуется сравнить два положительных числа. Причем сравнить периодическую дробь с простой дробью.

Переведём периодическую дробь 0,(3) в обыкновенную дробь и сравним её с дробью  Сравнение рациональных чисел . После перевода периодической дроби 0,(3) в обыкновенную, она обращается в дробь Сравнение рациональных чисел

Находим модули чисел:

Сравнение рациональных чисел

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно приведём к общему знаменателю:Сравнение рациональных чисел

Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число Сравнение рациональных чисел больше, чем 0,(3) потому что модуль числа Сравнение рациональных чисел больше, чем модуль числа 0,(3)

0,(3)  <  Сравнение рациональных чисел

Предыдущая

Следующая
Математика с нуляСложение и вычитание рациональных чисел
Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
Плохо
0
Хорошо
0
Супер
0
Мы в ВК, подпишись на нас!

Подпишись на нашу группу в ВКонтакте, чтобы быть в курсе выхода нового материала...

Вступить