Обобщённое понятие модуля числа

В данном уроке мы рассмотрим понятие модуля числа более подробно.

Что такое модуль?

Модуль — это расстояние от начала координат до какого-нибудь числа на координатной прямой. Поскольку расстояние не бывает отрицательным, то и модуль всегда неотрицателен. Так, модуль числа 3 равен 3, как и модуль числа −3 равен 3

| 3 |= 3

|−3|= 3

Предстáвим, что на координатной прямой расстояние между целыми числами равно одному шагу. Теперь если отметить числа −3 и 3, то расстояние до них от начала координат будет одинаково равно трём шагам:

Обобщённое понятие модуля числа

Модуль это не только расстояние от начала координат до какого-нибудь числа. Модуль это также расстояние между любыми двумя числами на координатной прямой. Такое расстояние выражается в виде разности между этими числами, заключенной под знак модуля:

|x1 − x2|

Где x1 и x2 — числа на координатной прямой.

Например, отметим на координатной прямой числа 2 и 5.

Обобщённое понятие модуля числа

Расстояние между числами 2 и 5 можно записать с помощью модуля. Для этого запишем разность из чисел 2 и 5 и заключим эту разность под знак модуля:

|2 − 5| = |−3| = 3

Видим, что расстояние от числа 2 до числа 5 равно трём шагам:

Обобщённое понятие модуля числа

Если расстояние от 2 до 5 равно 3, то и расстояние от 5 до 2 тоже равно 3

Обобщённое понятие модуля числа

То есть, если в выражении |5 − 2| поменять числа местами, то результат не изменится:

|5 − 2| = | 3 | = 3

Тогда можно записать, что |2 − 5| = |5 − 2|. Вообще, справедливо следующее равенство:

|x1 − x2| = |x2 − x1|

Это равенство можно прочитать так: Расстояние от x1 до x2 равно расстоянию от x2 до x1.

Раскрытие модуля

Когда мы говорим, что |3|= 3 или |−3|= 3 мы выполняем действие называемое раскрытием модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

Обобщённое понятие модуля числа

Такую запись мы ранее не использовали. Дело в том, что равенство можно задавать несколькими формулами. Фигурная скобка указывает, что возможны два случая в зависимости от условия. В данном случае условиями являются записи «если x ≥ 0» и «если x < 0».

В зависимости от того что будет подставлено вместо x, выражение |x| будет равно x, если подставленное число больше или равно нулю. А если вместо x подставлено число меньшее нуля, то выражение |x| будет равно −x.

Второй случай на первый взгляд может показаться противоречивым, поскольку запись |x| = −x выглядит будто модуль стал равен отрицательному числу. Следует иметь ввиду, что когда x < 0, то под знáком модуля располагается отрицательное число. После знака равенства нужно подстáвить данное отрицательное число вместо x и раскрыть скобки.

Например, найдём модуль числа −7, используя правило раскрытия модуля:

Обобщённое понятие модуля числа

Итак, = −7

|−7|

В данном случае выполняется второе условие < 0, ведь −7 < 0

Обобщённое понятие модуля числа

Поэтому используем вторую формулу. А именно |x| = −x. Подстáвим вместо x число −7

Обобщённое понятие модуля числа

Отсюда:

Обобщённое понятие модуля числа

Поэтому |−7| = 7.

Пример 2. Пусть = 5. То есть мы рассматриваем модуль числа 5

| 5 |

В данном случае выполняется первое условие ≥ 0, ведь 5 ≥ 0

Обобщённое понятие модуля числа

Поэтому используем первую формулу. А именно | x | = x. Получаем | 5 | = 5.

Пример 3. Пусть = √4 − 6. То есть мы рассматриваем модуль выражения √4 − 6,

|√4 − 6|

Корень из числа 4 равен 2. Тогда модуль примет вид

|√4 − 6| = |2 − 6| = |−4|

x который был равен √4−6 теперь стал равен −4. В данном случае выполняется второе условие < 0, ведь −4 < 0

Обобщённое понятие модуля числа

Следовательно, используем вторую формулу |x| = −x. Продолжаем решение в исходном примере:

|√4 − 6| = |2 − 6| = |−4| = −(−4) = 4

На практике обычно рассуждают так:

«Модуль раскрывается со знаком плюс, если подмодульное выражение больше или равно нулю; модуль раскрывается со знаком минус, если подмодульное выражение меньше нуля».

Примеры:

|2| = 2 — модуль раскрылся со знаком плюс, поскольку 2 ≥ 0

|−4| = −(−4) = 4 — модуль раскрылся со знаком минус, поскольку −4 < 0

В некоторых учебниках можно встретить следующую запись правила раскрытия модуля:

Обобщённое понятие модуля числа

В этой записи первое условие которое ранее выглядело как ≥ 0 расписано подробнее, а именно сказано что если > 0, то выражение |x| будет равно x, а если x=0, то выражение |x| будет равно нулю.

Пример 4. Пусть x = 0. То есть мы рассматриваем модуль нуля:

| 0 |

В данном случае выполняется условие x=0, ведь 0 = 0

 

Обобщённое понятие модуля числа

Отсюда: |0| = 0

Пример 5. Раскрыть модуль в выражении |x|+ 3

Если ≥ 0, то модуль раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид + 3.

Если < 0, то модуль раскроется со знаком минус, и тогда исходное выражение примет вид −+ 3. Чтобы сделать это выражение более удобным для восприятия, поменяем местами его члены, полýчим 3 − x

Теперь запишем решение так:

Обобщённое понятие модуля числа

Проверим это решение при произвольных значениях x.

Допустим, требуется найти значение выражения |x|+ 3 при = 5. Поскольку 5 ≥ 0, то модуль, содержащийся в выражении |x|+ 3 раскрóется со знаком плюс и тогда решение примет вид:

|x|+ 3 = x + 3 = 5 + 3 = 8

Найдём значение выражения |x|+ 3 при = −6. Поскольку −6 < 0, то модуль содержащийся в выражении |x|+ 3 раскроется со знаком минус и тогда решение примет вид:

|x| + 3 = 3 − x = 3 − (−6) = 9

Пример 6. Раскрыть модуль в выражении x +|x + 3|

Если x + 3 ≥ 0, то модуль |x + 3| раскроется со знаком плюс и тогда исходное выражение примет вид x + x + 3, откуда 2x + 3.

Если x + 3 < 0, то модуль |x + 3| раскроется со знаком минус и тогда исходное выражение примет вид x − (x + 3), откуда x − x − 3 = −3.

Запишем решение так:

Обобщённое понятие модуля числа

Заметим, что условия x + 3 ≥ 0 и x + 3 < 0 являются неравенствами. Их можно привести к более простому виду, решив их:

Обобщённое понятие модуля числа

Тогда условия из решения можно заменить на равносильные x ≥ −3 и x < −3

Обобщённое понятие модуля числа

Во втором случае когда x строго меньше −3 выражение x +|x + 3| всегда будет равно постоянному числу −3.

Например, найдём значение выражения x +|x + 3| при x = −5. Поскольку −5 < −3, то согласно нашему решению значение выражения x +|x + 3| будет равно −3

При x = −5,
x +|x + 3| = x − x − 3 = −5(−5) 3 = −3

Найдём значение выражения x +|x + 3| при = 4. Поскольку 4 ≥ −3, то согласно нашему решению модуль выражения+|+ 3| раскрывается со знаком плюс, и тогда исходное выражение принимает вид 2x+3, откуда подставив 4 получим 11

При x = 4,
x +|x + 3| = 2x+3 = 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11

Найдём значение выражения x +|x + 3| при x=−3.

Поскольку −3 ≥ −3, то согласно нашему решению модуль выражения+|+ 3| раскрывается со знаком плюс, и тогда исходное выражение принимает вид 2x+3, откуда подставив −3 получим −3

x +|x + 3| = 2+ 3 = 2 × (−3) + 3 = −6 + 3 = −3

Пример 3. Раскрыть модуль в выражении Обобщённое понятие модуля числа

Как и прежде используем правило раскрытия модуля:

Обобщённое понятие модуля числа

Но это решение не будет правильным, поскольку в первом случае написано условие ≥ 0, которое допускает что при x = 0 знаменатель выражения Обобщённое понятие модуля числа обращается в ноль, а на ноль делить нельзя.

В данном примере удобнее использовать подробную запись правила раскрытия модуля, где отдельно рассматривается случай при котором = 0

Обобщённое понятие модуля числа

Перепишем решение так:

Обобщённое понятие модуля числа

В первом случае написано условие > 0. Тогда выражение Обобщённое понятие модуля числа станет равно 1. Например, если = 3, то числитель и знаменатель станут равны 3, откуда полýчится 1

Обобщённое понятие модуля числа

И так будет при любом x, бóльшем нуля.

Во втором случае написано условие x = 0. Тогда решений не будет, потому что на ноль делить нельзя.

В третьем случае написано условие x < 0. Тогда выражение Обобщённое понятие модуля числа станет равно −1. Например, если = −4, то числитель станет равен 4, а знаменатель −4, откуда полýчится единица −1

Обобщённое понятие модуля числа

Пример 4. Раскрыть модуль в выражении Обобщённое понятие модуля числа

Если ≥ 0, то модуль, содержащийся в числителе, раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид Обобщённое понятие модуля числа, которое при любом x, бóльшем нуля, будет равно единице:

Обобщённое понятие модуля числа

Если < 0, то модуль раскроется со знаком минус, и тогда исходное выражение примет вид Обобщённое понятие модуля числа

Обобщённое понятие модуля числа

Но надо учитывать, что при = − 1 знаменатель выражения Обобщённое понятие модуля числа обращается в ноль. Поэтому второе условие < 0 следует дополнить записью о том, какие значения может принимать x

Обобщённое понятие модуля числа

Преобразование выражений с модулями

Модуль, входящий в выражение, можно рассматривать как полноценный множитель. Его можно сокращать и выносить за скобки. Если модуль входит в многочлен, то его можно сложить с подобным ему модулем.

Как и у обычного буквенного множителя, у модуля есть свой коэффициент. Например, коэффициентом модуля |x| является 1, а коэффициентом модуля −|x| является −1. Коэффициентом модуля 3|x+1| является 3, а коэффициентом модуля −3|x+1| является −3.

Пример 1. Упростить выражение |x| + 2|x| − 2+ 5y и раскрыть модуль в получившемся выражении.

Решение

Выражения|x| и 2|x| являются подобными членами. Слóжим их. Остальное оставим без изменений:

Обобщённое понятие модуля числа

Раскроем модуль в получившемся выражении. Если |x| ≥ 0, то получим 3− 2+ 5y, откуда + 5y.

Если |x| < 0, то получим −3− 2+ 5y, откуда −5+ 5y. Вынесем за скобки множитель −5, получим −5(x − y)

В итоге имеем следующее решение:

Обобщённое понятие модуля числа

Пример 2. Раскрыть модуль в выражении: −|x|

Решение

В данном случае перед знаком модуля стоит минус. Его можно понимать как минус единицу перед знаком модуля. Если x ≥ 0, то модуль раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид −x

Если < 0, то модуль раскроется со знаком минус, и тогда исходное выражение примет вид −(−x) откуда получим просто x

Обобщённое понятие модуля числа

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Раскройте модуль: Обобщённое понятие модуля числа Решение: Обобщённое понятие модуля числа Задание 2. Раскройте модуль: Обобщённое понятие модуля числа Решение: Обобщённое понятие модуля числа Задание 3. Раскройте модуль: Обобщённое понятие модуля числа Решение: Обобщённое понятие модуля числа Задание 4. Раскройте модуль: Обобщённое понятие модуля числа Решение: Обобщённое понятие модуля числа Задание 5. Раскройте модуль: Обобщённое понятие модуля числа Решение: Обобщённое понятие модуля числа

Предыдущая

Следующая
Математика с нуляУравнение с модулем

Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
Плохо
0
Хорошо
0
Супер
0
Спринт-Олимпик.ру