Сравнение дробей

Продолжаем изучать дроби. Сегодня мы поговорим об их сравнении. Тема интересная и полезная. Она позволит новичку почувствовать себя учёным в белом халате.

Суть сравнения дробей заключается в том, чтобы узнать какая из двух дробей больше или меньше.

Чтобы ответить на вопрос какая из двух дробей больше или меньше, пользуются операциями отношения, такими как больше (>) или меньше (<).

Ученые-математики уже позаботились о готовых правилах, позволяющие сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше. Эти правила можно смело применять.

Мы рассмотрим все эти правила и попробуем разобраться, почему происходит именно так.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Дроби, которые нужно сравнить, попадаются разные. Самый удачный случай это когда у дробей одинаковые знаменатели, но разные числители. В этом случае применяют следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. И соответственно меньше будет та дробь, у которой числитель меньше.

Например, сравним дроби Сравнение дробей и  Сравнение дробей

и ответим, какая из этих дробей больше. Здесь одинаковые знаменатели, но разные числители. У дроби  Сравнение дробей числитель больше, чем у дроби  Сравнение дробей. Значит дробь Сравнение дробей  больше, чем Сравнение дробей . Так и отвечаем. Отвечать нужно с помощью значка больше (>)

Сравнение дробей

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на четыре части. Сравнение дробей пиццы больше, чем Сравнение дробей пиццы:

Сравнение дробей

Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Следующий случай, в который мы можем попасть, это когда числители дробей одинаковые, но знаменатели разные. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И соответственно меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Например, сравним дроби Сравнение дробей и Сравнение дробей. У этих дробей одинаковые числители. У дроби Сравнение дробей знаменатель меньше, чем у дроби Сравнение дробей. Значит дробь Сравнение дробей больше, чем дробь Сравнение дробей. Так и отвечаем:Сравнение дробей

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на три и четыре части. Сравнение дробей пиццы больше, чем Сравнение дробей пиццы:

 Сравнение дробей

Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.

Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями

Нередко случается так, что приходиться сравнивать дроби с разными числителями и разными знаменателями.

Например, сравнить дроби Сравнение дробей и Сравнение дробей. Чтобы ответить на вопрос, какая из этих дробей больше или меньше, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем можно будет легко определить какая дробь больше или меньше.

Приведём дроби Сравнение дробей и Сравнение дробей к одинаковому (общему) знаменателю. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. НОК знаменателей дробей Сравнение дробей и Сравнение дробей это число 6.

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Разделим НОК на знаменатель первой дроби Сравнение дробей. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 6 на 2, получаем дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Сравнение дробей

Теперь найдём второй дополнительный множитель. Разделим НОК на знаменатель второй дроби Сравнение дробей. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем дополнительный множитель 2. Записываем его над второй дробью:

Сравнение дробей

Умножим дроби на свои дополнительные множители:

Сравнение дробей

Мы пришли к тому, что дроби, у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как сравнивать такие дроби мы уже знаем. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше:

Сравнение дробей

Правило правилом, а мы попробуем разобраться почему Сравнение дробей больше, чем Сравнение дробей. Для этого выделим целую часть в дроби Сравнение дробей. В дроби Сравнение дробей ничего выделять не нужно, поскольку эта дробь уже правильная.

После выделения целой части в дроби Сравнение дробей, получим следующее выражение:

Сравнение дробей

Теперь можно легко понять, почему Сравнение дробей больше, чем Сравнение дробей.  Давайте нарисуем эти дроби в виде пицц:

Сравнение дробей

2 целые пиццы и Сравнение дробей пиццы, больше чем Сравнение дробей пиццы.

Вычитание смешанных чисел. Сложные случаи.

Вычитая смешанные числа, иногда можно обнаружить, что всё идёт не так гладко, как хотелось бы. Часто случается так, что при решении какого-нибудь примера ответ получается не таким, каким он должен быть.

При вычитании чисел уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае будет получен нормальный ответ.

Например, 10−8=2

10 — уменьшаемое

8 — вычитаемое

2 — разность

Уменьшаемое 10 больше вычитаемого 8, поэтому мы получили нормальный ответ 2.

А теперь посмотрим, что будет если уменьшаемое окажется меньше вычитаемого. Пример 5−7=−2

5 — уменьшаемое

7 — вычитаемое

−2 — разность

В этом случае мы выходим за пределы привычных для нас чисел и попадаем в мир отрицательных чисел, где нам ходить пока рано, а то и опасно. Чтобы работать с отрицательными числами, нужна соответствующая математическая подготовка, которую мы ещё не получили.

Нужна помощь в подготовке к ЕГЭ по математике? Наши профессиональные репетиторы помогут вам сдать ЕГЭ на 80+ баллов!

Если при решении примеров на вычитание вы обнаружите, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то можете пока пропустить такой пример. Работать с отрицательными числами допустимо только после их изучения.

С дробями ситуация та же самая. Уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае можно будет получить нормальный ответ. А чтобы понять больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая, нужно уметь сравнить эти дроби.

Например, решим пример Сравнение дробей.

Это пример на вычитание. Чтобы решить его, нужно проверить больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. Сравнение дробей больше чем Сравнение дробей

Сравнение дробей

поэтому смело можем вернуться к примеру и решить его:

Сравнение дробей

Теперь решим такой пример Сравнение дробей

Проверяем больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. Обнаруживаем, что она меньше:

Сравнение дробей

В этом случае разумнее остановиться и не продолжать дальнейшее вычисление. Вернёмся к этому примеру, когда изучим отрицательные числа.

Смешанные числа перед вычитанием тоже желательно проверять. Например, найдём значение выражения Сравнение дробей.

Сначала проверим больше ли уменьшаемое смешанное число, чем вычитаемое. Для этого переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Сравнение дробей

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Не будем подробно расписывать, как это сделать. Если испытываете затруднения, обязательно повторите действия с дробями.

После приведения дробей к одинаковому знаменателю, получаем следующее выражение:

Сравнение дробей

Теперь нужно сравнить дроби Сравнение дробей и Сравнение дробей. Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.

У дроби Сравнение дробей числитель больше, чем у дроби  Сравнение дробей. Значит дробь Сравнение дробей больше, чем дробь Сравнение дробей.

Сравнение дробей

А это значит, что уменьшаемое Сравнение дробей больше, чем вычитаемое Сравнение дробей

Сравнение дробей

А значит мы можем вернуться к нашему примеру и смело решить его:
Сравнение дробей

Пример 3. Найти значение выражения Сравнение дробей

Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Сравнение дробей

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем данные дроби к одинаковому (общему) знаменателю:

Сравнение дробей

Теперь сравним дроби Сравнение дробей  и Сравнение дробей. У дроби Сравнение дробей числитель меньше, чем у дроби Сравнение дробей, значит дробь Сравнение дробей меньше, чем дробь Сравнение дробей

Сравнение дробей

А это значит, что и уменьшаемое Сравнение дробей меньше, чем вычитаемое Сравнение дробей

Сравнение дробей

А это гарантировано приведёт нас в мир отрицательных чисел. Поэтому разумнее остановиться на этом месте и не продолжать вычисление. Продолжим его, когда изучим отрицательные числа.

Пример 4. Найти значение выражения Сравнение дробей

Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Сравнение дробей

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем их к одинаковому (общему) знаменателю:

Сравнение дробей

Теперь нужно сравнить дроби  Сравнение дробей  и  Сравнение дробей . У дроби Сравнение дробей числитель больше, чем у дроби Сравнение дробей. Значит дробь Сравнение дробей больше, чем дробь Сравнение дробей.

Сравнение дробей

А это значит, что уменьшаемое Сравнение дробей больше, чем вычитаемое Сравнение дробей

Сравнение дробей

Поэтому мы смело можем продолжить вычисление нашего примера:

Сравнение дробей

Сначала мы получили ответ Сравнение дробей. Эту дробь мы сократили на 2 и получили дробь Сравнение дробей, но такой ответ нас тоже не устроил и мы выделили целую часть в этом ответе. В итоге получили ответ Сравнение дробей.

Предыдущая

Следующая
Математика с нуляЕдиницы измерения
Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
Плохо
0
Хорошо
0
Супер
0
Мы в ВК, подпишись на нас!

Подпишись на нашу группу в ВКонтакте, чтобы быть в курсе выхода нового материала...

Вступить